Упр.12.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
1) |x+3|-|5-2x|=2-3x;
2) |x-3|+2|x+1|=4;
3) |x-1|+|x-2|=|x-3|+4;
4) |x+5|+|x-8|=13;
5) |x|-|x-2|=2;
6) |7x-12|-|7x-11|=1;
7) |x-6|/(3-|x-3| )=1;
8) (|x|+|x+1|-1)/(|x|-|x-2|+2)=1.
$$|x+3|-|5-2x|=2-3x$$
Рассмотрим промежутки, заданные точками $$x=-3$$ и $$x=\frac52$$.
1) Если $$x<-3$$, то
$$-(x+3)-(5-2x)=2-3x,$$
откуда
$$x-3-5+2x=2-3x,$$
$$5x=10,$$
$$x=2,$$
что не подходит.2) Если $$-3\le x\le \frac52$$, то
$$x+3-(5-2x)=2-3x,$$
$$3x-2=2-3x,$$
$$6x=4,$$
$$x=\frac23.$$3) Если $$x>\frac52$$, то
$$x+3-(2x-5)=2-3x,$$
$$-x+8=2-3x,$$
$$2x=-6,$$
$$x=-3,$$
что не подходит.Значит, $$x=\frac23$$.
$$|x-3|+2|x+1|=4$$
Рассмотрим точки $$x=-1$$ и $$x=3$$.
1) Если $$x<-1$$, то
$$3-x+2(-x-1)=4,$$
$$1-3x=4,$$
$$x=-1,$$
что не подходит.2) Если $$-1\le x\le 3$$, то
$$3-x+2(x+1)=4,$$
$$x+5=4,$$
$$x=-1.$$3) Если $$x>3$$, то
$$x-3+2(x+1)=4,$$
$$3x-1=4,$$
$$x=\frac53,$$
что не подходит.Значит, $$x=-1$$.
$$|x-1|+|x-2|=|x-3|+4$$
Рассмотрим точки $$x=1,2,3$$.
1) Если $$x<1$$, то
$$1-x+2-x=3-x+4,$$
$$x=-4.$$2) Если $$1\le x<2$$, то
$$x-1+2-x=3-x+4,$$
$$1=7-x,$$
$$x=6,$$
что не подходит.3) Если $$2\le x\le 3$$, то
$$x-1+x-2=3-x+4,$$
$$3x=10,$$
$$x=\frac{10}{3},$$
что не подходит.4) Если $$x>3$$, то
$$x-1+x-2=x-3+4,$$
$$x=4.$$Значит, $$x=-4$$ или $$x=4$$.
$$|x+5|+|x-8|=13$$
Рассмотрим точки $$x=-5$$ и $$x=8$$.
1) Если $$x<-5$$, то
$$-x-5+8-x=13,$$
$$-2x=10,$$
$$x=-5,$$
что не подходит.2) Если $$-5\le x\le 8$$, то
$$x+5+8-x=13,$$
$$13=13,$$
значит, подходят все $$x$$ из этого промежутка.3) Если $$x>8$$, то
$$x+5+x-8=13,$$
$$2x=16,$$
$$x=8,$$
что не подходит.Значит, $$x\in[-5;8]$$.
$$|x|-|x-2|=2$$
Рассмотрим точки $$x=0$$ и $$x=2$$.
1) Если $$x<0$$, то
$$-x-(-x+2)=2,$$
$$-2=2,$$
решений нет.2) Если $$0\le x\le 2$$, то
$$x-(2-x)=2,$$
$$2x=4,$$
$$x=2.$$3) Если $$x>2$$, то
$$x-(x-2)=2,$$
$$2=2,$$
значит, подходят все $$x>2$$.Значит, $$x\in[2;+\infty)$$.
$$|7x-12|-|7x-11|=1$$
Рассмотрим точки $$x=\frac{11}{7}$$ и $$x=\frac{12}{7}$$.
1) Если $$x<\frac{11}{7}$$, то
$$12-7x-(11-7x)=1,$$
$$1=1,$$
значит, подходят все $$x<\frac{11}{7}$$.2) Если $$\frac{11}{7}\le x\le \frac{12}{7}$$, то
$$12-7x-(7x-11)=1,$$
$$23-14x=1,$$
$$14x=22,$$
$$x=\frac{11}{7}.$$3) Если $$x>\frac{12}{7}$$, то
$$7x-12-(7x-11)=1,$$
$$-1=1,$$
решений нет.Значит, $$x\le \frac{11}{7}$$.
$$\frac{|x-6|}{3-|x-3|}=1$$
Область определения: $$3-|x-3|\ne 0$$, то есть $$|x-3|\ne 3$$, откуда $$x\ne 0$$ и $$x\ne 6$$.
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, и
$$\frac{6-x}{x}=1,$$
$$6-x=x,$$
$$x=3,$$
что не подходит.2) Если $$3\le x<6$$, то $$|x-3|=x-3$$, и
$$\frac{6-x}{6-x}=1.$$
Здесь все значения подходят.3) Если $$x>6$$, то
$$\frac{x-6}{6-x}=1,$$
$$-1=1,$$
решений нет.Значит, $$x\in[3;6)$$.
$$\frac{|x|+|x+1|-1}{|x|-|x-2|+2}=1$$
Область определения: $$|x|-|x-2|+2\ne 0$$.
Решим уравнение:
$$|x|+|x+1|-1=|x|-|x-2|+2,$$
$$|x+1|+|x-2|=3.$$Рассмотрим точки $$x=-1$$, $$x=0$$, $$x=2$$.
1) Если $$x<-1$$, то
$$-(x+1)+(2-x)=3,$$
$$1-2x=3,$$
$$x=-1,$$
что не подходит.2) Если $$-1\le x<0$$, то
$$x+1+2-x=3,$$
тождество, значит, подходят все $$x\in[-1;0).$$3) Если $$0\le x<2$$, то
$$x+1+2-x=3,$$
тождество, значит, подходят все $$x\in[0;2).$$4) Если $$x\ge 2$$, то
$$x+1+x-2=3,$$
$$2x=4,$$
$$x=2.$$Значит, $$x\in(-1;2]$$.
Ответ
1) $$x=\frac23$$; 2) $$x=-1$$; 3) $$x=-4,\,4$$; 4) $$x\in[-5;8]$$; 5) $$x\in[2;+\infty)$$; 6) $$x\le \frac{11}{7}$$; 7) $$x\in[3;6)$$; 8) $$x\in(-1;2]$$.
