Упр.12.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
1) |x-2|+|x-4|=3;
2) |x-2|-3|3-x|+x=0;
3) |4-x|+|2x-2|=5-2x;
4) |x|-2|x+1|=5;
5) |x|+|3x+2|+|2x-1|=5;
6) |x|+|x-6|=6;
7) |x+2|-|x-3|=5;
8) |5x-2|-|7x-3|+2x=1;
9) |x-2|/(|x-1|-1)=1;
10) (|x-3|+|x-1|-2)/(|x-1|-|x|+1)=1.
- $$|x-2|+|x-4|=3$$
Рассмотрим промежутки:
1) $$x<2$$
$$2-x+4-x=3$$
$$6-2x=3$$
$$x=\frac32$$2) $$2\le x\le 4$$
$$x-2+4-x=3$$
$$2=3$$Решений нет.
3) $$x>4$$
$$x-2+x-4=3$$
$$2x-6=3$$
$$x=\frac92$$ - $$|x-2|-3|3-x|+x=0$$
Так как $$|3-x|=|x-3|$$, рассмотрим промежутки:
1) $$x<2$$
$$2-x-3(3-x)+x=0$$
$$2-x-9+3x+x=0$$
$$3x-7=0$$
$$x=\frac73$$Это значение не принадлежит промежутку $$x<2$$, значит, не подходит.
2) $$2\le x\le 3$$
$$x-2-3(3-x)+x=0$$
$$5x-11=0$$
$$x=\frac{11}{5}$$Подходит.
3) $$x>3$$
$$x-2-3(x-3)+x=0$$
$$-x+7=0$$
$$x=7$$ - $$|4-x|+|2x-2|=5-2x$$
Проверим промежутки:
1) $$x<1$$
$$4-x+2-2x=5-2x$$
$$6-3x=5-2x$$
$$x=1$$Не подходит промежутку.
2) $$1\le x\le 4$$
$$4-x+2x-2=5-2x$$
$$x+2=5-2x$$
$$3x=3$$
$$x=1$$Подходит.
3) $$x>4$$
$$x-4+2x-2=5-2x$$
$$5x=11$$
$$x=\frac{11}{5}$$Не подходит промежутку.
- $$|x|-2|x+1|=5$$
Рассмотрим промежутки:
1) $$x<-1$$
$$-x-2(-x-1)=5$$
$$x+2=5$$
$$x=3$$Не подходит.
2) $$-1\le x<0$$
$$-x-2(x+1)=5$$
$$-3x-2=5$$
$$x=-\frac73$$Не подходит.
3) $$x\ge 0$$
$$x-2(x+1)=5$$
$$-x-2=5$$
$$x=-7$$Не подходит.
- $$|x|+|3x+2|+|2x-1|=5$$
Точки смены знака: $$x=-\frac23$$ и $$x=\frac12$$.
1) $$x<-\frac23$$
$$-x-(3x+2)-(2x-1)=5$$
$$-6x-1=5$$
$$x=-1$$Подходит.
2) $$-\frac23\le x<0$$
$$-x+(3x+2)-(2x-1)=5$$
$$3=5$$Решений нет.
3) $$0\le x<\frac12$$
$$x+(3x+2)-(2x-1)=5$$
$$2x+3=5$$
$$x=1$$Не подходит.
4) $$x\ge \frac12$$
$$x+(3x+2)+(2x-1)=5$$
$$6x+1=5$$
$$x=\frac23$$Подходит.
- $$|x|+|x-6|=6$$
1) $$x<0$$
$$-x+6-x=6$$
$$-2x=0$$
$$x=0$$Не подходит.
2) $$0\le x\le 6$$
$$x+6-x=6$$
Подходит любое $$x$$ из этого промежутка.
3) $$x>6$$
$$x+x-6=6$$
$$2x=12$$
$$x=6$$Не подходит.
- $$|x+2|-|x-3|=5$$
1) $$x<-2$$
$$-x-2-(-x+3)=5$$
$$-5=5$$Решений нет.
2) $$-2\le x\le 3$$
$$x+2-(-x+3)=5$$
$$2x-1=5$$
$$x=3$$Подходит.
3) $$x>3$$
$$x+2-(x-3)=5$$
$$5=5$$Подходит любое $$x>3$$.
- $$|5x-2|-|7x-3|+2x=1$$
Точки смены знака: $$x=\frac25$$ и $$x=\frac37$$.
1) $$x<\frac25$$
$$2-5x-(3-7x)+2x=1$$
$$4x-1=1$$
$$x=\frac12$$Не подходит.
2) $$\frac25\le x\le \frac37$$
$$5x-2-(3-7x)+2x=1$$
$$14x-5=1$$
$$x=\frac37$$Подходит.
3) $$x>\frac37$$
$$5x-2-(7x-3)+2x=1$$
$$0=0$$Подходит любое $$x>\frac37$$.
- $$\frac{|x-2|}{|x-1|-1}=1$$
ОДЗ: $$|x-1|-1\ne 0$$, то есть $$|x-1|\ne 1$$, значит $$x\ne 0$$ и $$x\ne 2$$.
Решаем по промежуткам:
1) $$x<0$$
$$\frac{2-x}{1-x-1}=1$$
$$\frac{2-x}{-x}=1$$
$$2-x=-x$$Решений нет.
2) $$0<x<1$$
$$\frac{2-x}{1-x-1}=1$$
$$\frac{2-x}{-x}=1$$
$$2-x=-x$$Решений нет.
3) $$1\le x<2$$
$$\frac{2-x}{x-1-1}=1$$
$$\frac{2-x}{x-2}=1$$
$$2-x=x-2$$
$$x=2$$Не подходит.
4) $$x>2$$
$$\frac{x-2}{x-1-1}=1$$
$$\frac{x-2}{x-2}=1$$Подходит любое $$x>2$$.
- $$\frac{|x-3|+|x-1|-2}{|x-1|-|x|+1}=1$$
Сначала найдём, когда знаменатель равен нулю:
$$|x-1|-|x|+1=0$$
При $$x\ge 1$$ знаменатель равен $$0$$, поэтому эти значения не подходят.
Рассмотрим $$x<1$$:
$$\frac{|x-3|+|x-1|-2}{|x-1|-|x|+1}=1 \Rightarrow \frac{|x-3|+1-x-2}{1-x-|x|+1}=1 $$
1) $$x<0$$
$$\frac{3-x+1-x-2}{1-x+x+1}=1$$
$$\frac{2-2x}{2}=1$$
$$1-x=1$$
$$x=0$$Не подходит.
2) $$0\le x<1$$
$$\frac{3-x+1-x-2}{1-x-x+1}=1$$
$$\frac{2-2x}{2-2x}=1 $$При $$0\le x<1$$ знаменатель не равен нулю, значит подходят все эти значения.
Ответ
1) $$x=\frac32,\ \frac92$$;
2) $$x=\frac{11}{5},\ 7$$;
3) $$x=1$$;
4) решений нет;
5) $$x=-1,\ \frac23$$;
6) $$x\in[0;6]$$;
7) $$x\in[3;+\infty)$$;
8) $$x\in\left[\frac37;+\infty\right)$$;
9) $$x\in(2;+\infty)$$;
10) $$x\in[0;1)$$.
