Упр.12.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$|x+5|<2x+3$$;
2. $$|1-2x|?x+1$$;
3. $$|4x+5|>3x-1$$;
4. $$|2x-7|?x-2$$.

1. $$|x+5|<2x+3$$

   Чтобы неравенство с модулем имело смысл, нужно, чтобы правая часть была положительной:

   $$2x+3>0 \Rightarrow x>-\frac{3}{2}.$$

   Решаем по определению модуля:

   $$\begin{cases} x+5<2x+3,\\ x+5>-(2x+3). \end{cases}$$
   $$\begin{cases} x>2,\\ 3x>-8. \end{cases}$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x>2.$$

2. $$|1-2x|\le x+1$$

   Сначала найдём область допустимых значений:

   $$x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} 1-2x\le x+1,\\ 1-2x\ge -(x+1). \end{cases}$$
   $$\begin{cases} -3x\le 0,\\ -x\ge -2. \end{cases}$$
   $$\begin{cases} x\ge 0,\\ x\le 2. \end{cases}$$

   Следовательно,

   $$x\in[0;2].$$

3. $$|4x+5|>3x-1$$

   Если $$3x-1<0,$$ то неравенство верно при любых $$x$$, удовлетворяющих этому условию:

   $$3x-1<0 \Rightarrow x<\frac13.$$

   Если $$3x-1\ge 0,$$ то

   $$\begin{cases} 4x+5>3x-1,\\ 4x+5<-(3x-1). \end{cases}$$ $$\begin{cases} x>-6,\\ 7x<-4. \end{cases}$$

   Второе неравенство даёт $$x<-\frac47.$$ Тогда решение объединяется с случаем $$x<\frac13$$, и в итоге получаем:

   $$x\in(-\infty;+\infty).$$

4. $$|2x-7|\ge x-2$$

   Решаем по определению модуля:

   $$\begin{cases} 2x-7\ge x-2,\\ 2x-7\le -(x-2). \end{cases}$$
   $$\begin{cases} x\ge 5,\\ 3x\le 9. \end{cases}$$
   $$\begin{cases} x\ge 5,\\ x\le 3. \end{cases}$$

   Первое неравенство даёт $$x\ge 5,$$ а второе — $$x\le 3.$$ Поэтому

   $$x\in(-\infty;3]\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1) $$(2;+\infty)$$; 2) $$[0;2]$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;3]\cup[5;+\infty)$$.