Упр.12.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) |a+b|?|a|+|b|;
2) |a-b|?|a|-|b|;
3) |a+b|=|a|+|b| тогда и только тогда,когда ab?0;
4) |a|+|b|=a+b тогда и только тогда,когда a?0 и b?0;
5) |a-b|=|a|+|b| тогда и только тогда,когда ab?0.

Подробный ответ

Докажем неравенство $$|a+b|\le |a|+|b|.$$
По свойству модуля для любых чисел $$x$$ и $$y$$ верно $$|x+y|\le |x|+|y|.$$
Положив $$x=a$$, $$y=b$$, получаем:
$$|a+b|\le |a|+|b|.$$
Докажем неравенство $$|a-b|\ge |a|-|b|.$$
Из пункта 1 для чисел $$a$$ и $$-b$$ имеем:
$$|a+(-b)|\le |a|+|-b|,$$
то есть
$$|a-b|\le |a|+|b|.$$
Теперь применим пункт 1 к числам $$a-b$$ и $$b$$:
$$|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|.$$
Отсюда
$$|a|-|b|\le |a-b|,$$
то есть
$$|a-b|\ge |a|-|b|.$$
Докажем, что $$|a+b|=|a|+|b|$$ тогда и только тогда, когда $$ab\ge 0.$$
Если $$ab\ge 0$$, то числа $$a$$ и $$b$$ одного знака или одно из них равно нулю.
Тогда:
- если $$a\ge 0$$ и $$b\ge 0$$, то $$|a|=a$$, $$|b|=b$$, значит $$|a+b|=a+b=|a|+|b|$$;
- если $$a\le 0$$ и $$b\le 0$$, то $$|a|=-a$$, $$|b|=-b$$, а $$a+b\le 0$$, значит $$|a+b|=-(a+b)=|a|+|b|.$$
Обратно, если $$|a+b|=|a|+|b|$$, то равенство в неравенстве треугольника возможно только при одинаковых знаках $$a$$ и $$b$$, то есть $$ab\ge 0.$$
Докажем, что $$|a|+|b|=a+b$$ тогда и только тогда, когда $$a\ge 0$$ и $$b\ge 0.$$
Если $$a\ge 0$$ и $$b\ge 0$$, то $$|a|=a$$ и $$|b|=b$$, следовательно,
$$|a|+|b|=a+b.$$
Обратно, если $$|a|+|b|=a+b$$, то левая часть не меньше правой только при $$a\ge 0$$ и $$b\ge 0.$$
Докажем, что $$|a-b|=|a|+|b|$$ тогда и только тогда, когда $$ab\le 0.$$
Если $$ab\le 0$$, то числа $$a$$ и $$b$$ противоположных знаков или одно из них равно нулю.
Тогда:
- если $$a\ge 0$$ и $$b\le 0$$, то $$|a|=a$$, $$|b|=-b$$, значит
$$|a-b|=|a-(-|b|)|=|a+|b||=a+|b|=|a|+|b|;$$
- если $$a\le 0$$ и $$b\ge 0$$, то аналогично
$$|a-b|=|-|a|-b|=|\,|a|+|b|\,|=|a|+|b|.$$
Обратно, если $$|a-b|=|a|+|b|$$, то это возможно только при противоположных знаках $$a$$ и $$b$$, то есть $$ab\le 0.$$