Упр.119 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите разность дробей:
   1) $$\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$$;
   2) $$\frac{1}{b+3}-\frac{b^2-6b}{b^3+27}$$.
2. Докажите тождество:
   1) $$\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0$$.

1. $$\frac{a+1}{a^3-1}-\frac{1}{a^2+a+1}$$

   Разложим знаменатель на множители:
   $$a^3-1=(a-1)(a^2+a+1).$$

   Тогда
   $$\frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1}{a^2+a+1} = \frac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}.$$

   $$\frac{a+1-(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{2}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{2}{a^3-1}.$$

2. $$\frac{1}{b+3}-\frac{b^2-6b}{b^3+27}$$

   Разложим знаменатель:
   $$b^3+27=(b+3)(b^2-3b+9).$$

   Тогда
   $$\frac{1}{b+3}-\frac{b^2-6b}{(b+3)(b^2-3b+9)} = \frac{b^2-3b+9-(b^2-6b)}{(b+3)(b^2-3b+9)}.$$

   $$\frac{b^2-3b+9-b^2+6b}{(b+3)(b^2-3b+9)}=\frac{3b+9}{(b+3)(b^2-3b+9)}=\frac{3}{b^2-3b+9}.$$

3. Докажем тождество:
   $$\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$a^2-ab=a(a-b).$$

   Тогда
   $$\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{(a+b)(a-b)-a^2+b^2}{a(a-b)}.$$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$(a+b)(a-b)-a^2+b^2=a^2-b^2-a^2+b^2=0.$$

   Значит,
   $$\frac{0}{a(a-b)}=0,$$
   тождество верно.

Ответ

1) $$\frac{2}{a^3-1}$$;
2) $$\frac{3}{b^2-3b+9}$$;
3) тождество верно.