Упр.1149 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: В слитке сплава меди и цинка содержится 20 кг цинка. К этому слитку добавили 3 кг меди и 4 кг цинка. Полученный сплав содержит на 5 % больше меди, чем исходный. Сколько килограммов меди содержал исходный сплав?

Подробный ответ

Пусть в исходном сплаве было $$x$$ кг меди. Тогда масса исходного сплава равна $$x+20$$ кг, а после добавления меди и цинка масса полученного сплава станет $$x+20+3+4=x+27$$ кг.

Меди в полученном сплаве стало $$x+3$$ кг. По условию, её доля увеличилась на $$5\%=\frac{1}{20}$$, значит:

$$\frac{x}{x+20}+\frac{1}{20}=\frac{x+3}{x+27}.$$

Решим уравнение:

$$ 20x(x+27)+20(x+20)(x+27)=20(x+3)(x+20) $$

$$ 20x^2+540x+20x^2+940x+10800=20x^2+460x+1200 $$

$$ 20x^2+1480x+10800-20x^2-460x-1200=0 $$

$$ 1020x+9600=0 $$

$$ x= -\frac{9600}{1020} $$

Получили отрицательное значение, значит в записи уравнения допущена ошибка. Составим его правильно: доля меди в исходном сплаве увеличилась на $$5\%$$ от исходной доли, то есть

$$\frac{x+3}{x+27}=\frac{x}{x+20}+\frac{1}{20}.$$

Умножим на $$20(x+20)(x+27)$$:

$$ 20(x+3)(x+20)=20x(x+27)+(x+20)(x+27) $$

$$ 20(x^2+23x+60)=20x^2+540x+x^2+47x+540 $$

$$ 20x^2+460x+1200=21x^2+587x+540 $$

$$ x^2+127x-660=0 $$

Найдём корни:

$$ D=127^2+4\cdot 660=16129+2640=18769,\qquad \sqrt{D}=137. $$

$$ x_1=\frac{-127-137}{2}=-132,\qquad x_2=\frac{-127+137}{2}=5. $$

Так как масса меди не может быть отрицательной, подходит только $$x=5$$.