Упр.1147 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

При каком значении $$a$$ произведение корней уравнения $$x^2+(a+9)x+a^2+2a=0$$ равно $$15$$?

По теореме Виета для уравнения

$$x^2+(a+9)x+a^2+2a=0$$

произведение корней равно

$$x_1x_2=a^2+2a.$$

По условию задачи

$$a^2+2a=15.$$

Решим уравнение:

$$a^2+2a-15=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=4+60=64,$$

$$\sqrt{D}=8.$$

Тогда

$$a_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$a_1=-5,\qquad a_2=3.$$

Проверим, при каких значениях $$a$$ уравнение имеет действительные корни.

$$D=(a+9)^2-4(a^2+2a)=-3a^2+10a+81.$$

При $$a=-5$$:

$$D=-3\cdot 25+10\cdot(-5)+81=-75-50+81=-44<0,$$

значит, корней нет.

При $$a=3$$:

$$D=-3\cdot 9+10\cdot 3+81=-27+30+81=84>0,$$

корни существуют.

Ответ

$$a=3.$$