Упр.1146 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2 — (2a — 5)x + a^2 — 7 = 0$$. При каком значении $$a$$ выполняется равенство $$2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$$?

По теореме Виета для уравнения $$x^2-(2a-5)x+a^2-7=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=2a-5,$$

$$x_1x_2=a^2-7.$$

По условию:

$$2x_1+2x_2=x_1x_2.$$

Тогда

$$2(x_1+x_2)=x_1x_2,$$

$$2(2a-5)=a^2-7.$$

Получаем:

$$4a-10=a^2-7,$$

$$a^2-4a+3=0,$$

$$(a-1)(a-3)=0.$$

Следовательно, $$a=1$$ или $$a=3$$.

Проверим условие существования корней уравнения:

$$D=(2a-5)^2-4(a^2-7)=53-20a.$$

Для $$a=1$$: $$D=33>0$$, подходит.

Для $$a=3$$: $$D=-7<0$$, не подходит.

Значит, подходит только $$a=1$$.

Ответ

$$1$$