Упр.1145 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ уравнение $$\frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0$$ имеет единственный корень?

Чтобы уравнение

$$\frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0$$

имело корни, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю. Поэтому решаем уравнение

$$x^2-2ax+3=0, \qquad x\ne 2.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение должно иметь один двукратный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 3=4a^2-12.$$

Приравниваем дискриминант к нулю:

$$4a^2-12=0$$

$$4a^2=12$$

$$a^2=3$$

$$a=\pm\sqrt{3}.$$

Проверим, не равен ли корень числу $$2$$. При $$a=\pm\sqrt{3}$$ двукратный корень равен

$$x=\frac{2a}{2}=a,$$

то есть $$x=\pm\sqrt{3}$$, и он не равен $$2$$. Значит, уравнение действительно имеет единственный корень.

Ответ

$$a=\pm\sqrt{3}.$$