Упр.1128 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1/(корень 3 + корень 2) + 1/(корень 8 + корень 5) + 1/(корень 11 + корень 8) + … + 1/(корень 50 + корень 47).

Подробный ответ

Рационализуем каждый знаменатель, умножая дробь на сопряжённое выражение:

$$ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{8-5}=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{11-8}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3} $$
$$ \ldots $$
$$ \frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{50-47}=\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3} $$

Тогда

$$ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{8}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{50}+\sqrt{47}} $$
$$ =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{3}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{8}}{3}+\ldots+\frac{\sqrt{50}-\sqrt{47}}{3} $$
$$ =\frac{\sqrt{50}-\sqrt{2}}{3} $$

Так как $$\sqrt{50}=5\sqrt{2},$$ получаем:

$$ \frac{\sqrt{50}-\sqrt{2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3} $$