Упр.1127 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) корень ((корень x + 5)2 — 20 корень x) + корень ((корень x — 4)2 + 16 корень x);
2) корень (a + 2 корень (a + 3) + 4) + корень (a — 2 корень (a + 3) + 4).

1) Преобразуем подкоренные выражения:

$$ \sqrt{(\sqrt{x}+5)^2-20\sqrt{x}}+\sqrt{(\sqrt{x}-4)^2+16\sqrt{x}} $$
$$ =\sqrt{x+10\sqrt{x}+25-20\sqrt{x}}+\sqrt{x-8\sqrt{x}+16+16\sqrt{x}} $$
$$ =\sqrt{(\sqrt{x}-5)^2}+\sqrt{(\sqrt{x}+4)^2} =|\sqrt{x}-5|+\sqrt{x}+4. $$

Теперь учитываем область значений выражения под модулем:

если $$x\ge 25,$$ то $$|\sqrt{x}-5|=\sqrt{x}-5,$$ и тогда
$$|\sqrt{x}-5|+\sqrt{x}+4=2\sqrt{x}-1;$$

если $$0\le x<25,$$ то $$|\sqrt{x}-5|=5-\sqrt{x},$$ и тогда
$$|\sqrt{x}-5|+\sqrt{x}+4=9.$$

2) Аналогично:

$$ \sqrt{a+2\sqrt{a+3}+4}+\sqrt{a-2\sqrt{a+3}+4} $$
$$ =\sqrt{(\sqrt{a+3}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{a+3}-1)^2} $$
$$ =\sqrt{a+3}+1+\left|\sqrt{a+3}-1\right|. $$

Так как $$a+3\ge 0,$$ рассмотрим случаи:

если $$-3\le a\le -2,$$ то $$\sqrt{a+3}\le 1,$$ поэтому
$$\left|\sqrt{a+3}-1\right|=1-\sqrt{a+3},$$
и выражение равно
$$\sqrt{a+3}+1+1-\sqrt{a+3}=2;$$

если $$a>-2,$$ то $$\sqrt{a+3}>1,$$ поэтому
$$\left|\sqrt{a+3}-1\right|=\sqrt{a+3}-1,$$
и выражение равно
$$\sqrt{a+3}+1+\sqrt{a+3}-1=2\sqrt{a+3}.$$

Ответ

1) $$\begin{cases} 2\sqrt{x}-1, & x\ge 25,\\ 9, & 0\le x<25; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} 2, & -3\le a\le -2,\\ 2\sqrt{a+3}, & a>-2. \end{cases}$$