Упр.1126 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение: 1) $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{x}{x-9}$$; 2) $$\left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}\right):\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$$.

1. $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{x}{x-9}$$
   
   Приведём к общему знаменателю, учитывая, что
   $$x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3).$$

   Тогда
   $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{x}{x-9} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-x}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}.$$

   Раскроем скобки в числителе:
   $$\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-x=x+3\sqrt{x}-x=3\sqrt{x}.$$

   Получаем:
   $$\frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{3\sqrt{x}}{x-9}.$$

2. $$\left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}\right):\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$$

   Сначала упростим выражение в скобках:
   $$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{bc}+\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{\sqrt{c}(\sqrt{b}-\sqrt{c})}.$$

   Числитель:
   $$\sqrt{bc}+\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{c})=\sqrt{bc}+b-\sqrt{bc}=b.$$

   Значит,
   $$\left(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}\right) = \frac{b}{\sqrt{c}(\sqrt{b}-\sqrt{c})}.$$

   Делим на дробь:
   $$\frac{b}{\sqrt{c}(\sqrt{b}-\sqrt{c})}:\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} = \frac{b}{\sqrt{c}(\sqrt{b}-\sqrt{c})}\cdot\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}}.$$

   Сокращаем:
   $$\frac{b}{\sqrt{c}\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{b}{c}}.$$

Ответ

1) $$\frac{3\sqrt{x}}{x-9}$$

2) $$\sqrt{\frac{b}{c}}$$