Упр.112 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения не зависит от значения переменной:

1. $$\frac{2x+1}{2x-4}+\frac{2x-1}{6-3x}-\frac{x+7}{6x-12}$$;
2. $$\frac{24-2a}{a^2-16}-\frac{a}{2a-8}+\frac{4}{a+4}$$.

Упростите выражение:

1. $$\frac{a^2+1}{a^2-2a+1}+(a+1)(a-1)$$;
2. $$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a-b}{a+b}$$.

1. $$\frac{2x+1}{2x-4}+\frac{2x-1}{6-3x}-\frac{x+7}{6x-12}$$

   Область допустимых значений: $$x\ne 2$$.

   Преобразуем знаменатели:
   $$2x-4=2(x-2), \quad 6-3x=-3(x-2), \quad 6x-12=6(x-2).$$

   Тогда
   $$\frac{2x+1}{2(x-2)}-\frac{2x-1}{3(x-2)}-\frac{x+7}{6(x-2)} = \frac{3(2x+1)-2(2x-1)-(x+7)}{6(x-2)}.$$

   $$\frac{6x+3-4x+2-x-7}{6(x-2)}=\frac{x-2}{6(x-2)}=\frac16.$$

2. $$\frac{24-2a}{a^2-16}-\frac{a}{2a-8}+\frac{4}{a+4}$$

   Область допустимых значений: $$a\ne 4,\ a\ne -4$$.

   Разложим знаменатели:
   $$a^2-16=(a-4)(a+4), \quad 2a-8=2(a-4).$$

   Тогда
   $$\frac{24-2a}{(a-4)(a+4)}-\frac{a}{2(a-4)}+\frac{4}{a+4} = \frac{2(24-2a)-a(a+4)+4\cdot 2(a-4)}{2(a-4)(a+4)}.$$

   $$\frac{48-4a-a^2-4a+8a-32}{2(a^2-16)} = \frac{-a^2+16}{2(a^2-16)} = -\frac12.$$

Ответ

1) $$\frac16$$;
2) $$-\frac12$$.