Упр.11.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(\frac{x+9}{x+7}\right)^{-1}+\left(\frac{x+7}{x^2+81-18x}+\frac{x+5}{x^2-81}\right)\left(\frac{x+3}{x-9}\right)^{-2}$$.

Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{x+9}{x+7}\right)^{-1}+\left(\frac{x+7}{x^2+81-18x}+\frac{x+5}{x^2-81}\right)\left(\frac{x+3}{x-9}\right)^{-2}$$

Используем формулы:

$$\left(\frac{x+9}{x+7}\right)^{-1}=\frac{x+7}{x+9}, \quad x^2+81-18x=(x-9)^2, \quad x^2-81=(x-9)(x+9), \quad \left(\frac{x+3}{x-9}\right)^{-2}=\left(\frac{x-9}{x+3}\right)^2.$$

Тогда

$$\frac{x+7}{x+9}+\left(\frac{x+7}{(x-9)^2}+\frac{x+5}{(x-9)(x+9)}\right)\left(\frac{x-9}{x+3}\right)^2.$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{x+7}{(x-9)^2}+\frac{x+5}{(x-9)(x+9)} = \frac{(x+7)(x+9)+(x+5)(x-9)}{(x-9)^2(x+9)}.$$

Числитель:

$$(x+7)(x+9)+(x+5)(x-9) = x^2+16x+63+x^2-4x-45 =2x^2+12x+18 =2(x+3)^2.$$

Значит,

$$\left(\frac{x+7}{(x-9)^2}+\frac{x+5}{(x-9)(x+9)}\right)\left(\frac{x-9}{x+3}\right)^2 = \frac{2(x+3)^2}{(x-9)^2(x+9)}\cdot \frac{(x-9)^2}{(x+3)^2} = \frac{2}{x+9}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{x+7}{x+9}+\frac{2}{x+9} = \frac{x+9}{x+9} =1.$$

Ответ: 1