Упр.11.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x-a)^2 (x-1) > 0;
2) (x-a)^2 (x-1)?0;
3) (x-a) (x-1)^2 < 0; 4) (x-a) (x-1)^2?0.

1. $$ (x-a)^2(x-1)>0 $$
   Так как $$ (x-a)^2 \ge 0 $$ при любых $$x$$, то для строгого неравенства нужно:
   $$ (x-a)^2 \ne 0,\quad x-1>0. $$
   Значит,
   $$ x\ne a,\quad x>1. $$
   Если $$a>1$$, то из промежутка $$x>1$$ нужно исключить точку $$x=a$$:
   $$ (1;a)\cup(a;+\infty). $$
   Если $$a\le 1$$, то точка $$a$$ не попадает в область $$x>1$$, поэтому:
   $$ (1;+\infty). $$
2. $$ (x-a)^2(x-1)\ge 0 $$
   Здесь достаточно, чтобы
   $$ (x-a)^2=0 \quad \text{или} \quad x-1\ge 0. $$
   То есть
   $$ x=a \quad \text{или} \quad x\ge 1. $$
   Если $$a\ge 1$$, то точка $$a$$ уже входит в промежуток $$[1;+\infty)$$, поэтому:
   $$ [1;+\infty). $$
   Если $$a<1$$, то нужно добавить отдельную точку $$a$$: $$ \{a\}\cup[1;+\infty). $$
3. $$ (x-a)(x-1)^2<0 $$ Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, для строгого неравенства нужно: $$ x-1\ne 0,\quad x-a<0. $$ Значит, $$ x\ne 1,\quad x1$$, то из $$x
4. $$ (x-a)(x-1)^2\le 0 $$
   Нужно, чтобы
   $$ x-1=0 \quad \text{или} \quad x-a\le 0. $$
   То есть
   $$ x=1 \quad \text{или} \quad x\le a. $$
   Если $$a\ge 1$$, то точка $$1$$ уже содержится в промежутке $$(-\infty;a]$$, поэтому:
   $$ (-\infty;a]. $$
   Если $$a<1$$, то нужно добавить точку $$1$$: $$ (-\infty;a]\cup\{1\}. $$

Ответ

1) если $$a>1$$, то $$ (1;a)\cup(a;+\infty) $$; если $$a\le 1$$, то $$ (1;+\infty) $$;
2) если $$a\ge 1$$, то $$ [1;+\infty) $$; если $$a<1$$, то $$ \{a\}\cup[1;+\infty) $$;
3) если $$a>1$$, то $$ (-\infty;1)\cup(1;a) $$; если $$a\le 1$$, то $$ (-\infty;a) $$;
4) если $$a\ge 1$$, то $$ (-\infty;a] $$; если $$a<1$$, то $$ (-\infty;a]\cup\{1\} $$.