Упр.11.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Для каждого значения параметра $$a$$ решите неравенство:

1. $$\left(x-a\right)^2\left(x-1\right)>0$$;
2. $$\left(x-a\right)^2\left(x-1\right)?0$$;
3. $$\left(x-a\right)\left(x-1\right)^2<0$$;
4. $$\left(x-a\right)\left(x-1\right)^2?0$$.

1. $$(x-a)^2(x-1)>0$$
   Так как $$(x-a)^2 \ge 0$$ при любых $$x$$, то для строгого неравенства нужно:
   $$(x-a)^2 \ne 0,\quad x-1>0.$$
   Значит,
   $$x\ne a,\quad x>1.$$
   Если $$a>1$$, то из промежутка $$x>1$$ нужно исключить точку $$x=a$$:
   $$(1;a)\cup(a;+\infty).$$
   Если $$a\le 1$$, то точка $$a$$ не попадает в область $$x>1$$, поэтому:
   $$(1;+\infty).$$
2. $$(x-a)^2(x-1)\ge 0$$
   Здесь достаточно, чтобы
   $$(x-a)^2=0 \quad \text{или} \quad x-1\ge 0.$$
   То есть
   $$x=a \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$
   Если $$a\ge 1$$, то точка $$a$$ уже входит в промежуток $$[1;+\infty)$$, поэтому:
   $$[1;+\infty).$$
   Если $$a<1$$, то нужно добавить отдельную точку $$a$$: $$\{a\}\cup[1;+\infty).$$
3. $$(x-a)(x-1)^2<0$$ Так как $$(x-1)^2\ge 0$$, для строгого неравенства нужно: $$x-1\ne 0,\quad x-a<0.$$ Значит, $$x\ne 1,\quad x1$$, то из $$x
4. $$(x-a)(x-1)^2\le 0$$
   Нужно, чтобы
   $$x-1=0 \quad \text{или} \quad x-a\le 0.$$
   То есть
   $$x=1 \quad \text{или} \quad x\le a.$$
   Если $$a\ge 1$$, то точка $$1$$ уже содержится в промежутке $$(-\infty;a]$$, поэтому:
   $$(-\infty;a].$$
   Если $$a<1$$, то нужно добавить точку $$1$$: $$(-\infty;a]\cup\{1\}.$$

Ответ

1) если $$a>1$$, то $$(1;a)\cup(a;+\infty)$$; если $$a\le 1$$, то $$(1;+\infty)$$;
2) если $$a\ge 1$$, то $$[1;+\infty)$$; если $$a<1$$, то $$\{a\}\cup[1;+\infty)$$;
3) если $$a>1$$, то $$(-\infty;1)\cup(1;a)$$; если $$a\le 1$$, то $$(-\infty;a)$$;
4) если $$a\ge 1$$, то $$(-\infty;a]$$; если $$a<1$$, то $$(-\infty;a]\cup\{1\}$$.