Упр.1086 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(1/(a-3)2 — 6/(9-a2) + 1/(a+3)2) : 4(2a2-9)/(81-a4) — 2a2/(9-a2)
не зависит от значения a.

ОДЗ: $$a \ne \pm 3,$$ так как в выражении есть знаменатели $$a-3,$$ $$a+3,$$ $$9-a^2.$$

Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{1}{(a-3)^2}-\frac{6}{9-a^2}+\frac{1}{(a+3)^2}\right):\frac{4(2a^2-9)}{81-a^4}-\frac{2a^2}{9-a^2} $$

Так как $$9-a^2=(3-a)(3+a)$$ и $$81-a^4=(9-a^2)(9+a^2),$$ получаем:

$$ \left(\frac{1}{(3-a)^2}-\frac{6}{(3-a)(3+a)}+\frac{1}{(3+a)^2}\right)\cdot \frac{81-a^4}{4(2a^2-9)}-\frac{2a^2}{9-a^2} $$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:

$$ \frac{(3+a)^2-6(3-a)(3+a)+(3-a)^2}{(3-a)^2(3+a)^2} $$

Числитель:

$$ (3+a)^2-6(3-a)(3+a)+(3-a)^2 $$
$$ = (9+6a+a^2)-6(9-a^2)+(9-6a+a^2) $$
$$ = 8a^2-36=4(2a^2-9). $$

Тогда

$$ \left(\frac{1}{(a-3)^2}-\frac{6}{9-a^2}+\frac{1}{(a+3)^2}\right) = \frac{4(2a^2-9)}{(9-a^2)^2}. $$

Подставим это в исходное выражение:

$$ \frac{4(2a^2-9)}{(9-a^2)^2}\cdot \frac{81-a^4}{4(2a^2-9)}-\frac{2a^2}{9-a^2} $$

Сократим и учтём, что $$81-a^4=(9-a^2)(9+a^2):$$

$$ \frac{81-a^4}{(9-a^2)^2}-\frac{2a^2}{9-a^2} = \frac{(9-a^2)(9+a^2)}{(9-a^2)^2}-\frac{2a^2}{9-a^2} $$
$$ = \frac{9+a^2}{9-a^2}-\frac{2a^2}{9-a^2} = \frac{9-a^2}{9-a^2} =1. $$

Значение выражения не зависит от $$a$$.

Ответ

$$1$$