Упр.1076 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: $$\frac{1}{a(a+3)}+\frac{1}{(a+3)(a+6)}+\frac{1}{(a+6)(a+9)}+\frac{1}{(a+9)(a+12)}$$.

Преобразуем каждую дробь, выделяя разность:

$$\frac{1}{a(a+3)}=\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+3}\right),\quad \frac{1}{(a+3)(a+6)}=\frac13\left(\frac1{a+3}-\frac1{a+6}\right),$$
$$\frac{1}{(a+6)(a+9)}=\frac13\left(\frac1{a+6}-\frac1{a+9}\right),\quad \frac{1}{(a+9)(a+12)}=\frac13\left(\frac1{a+9}-\frac1{a+12}\right).$$

Тогда

$$\frac{1}{a(a+3)}+\frac{1}{(a+3)(a+6)}+\frac{1}{(a+6)(a+9)}+\frac{1}{(a+9)(a+12)}$$
$$=\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+3}+\frac1{a+3}-\frac1{a+6}+\frac1{a+6}-\frac1{a+9}+\frac1{a+9}-\frac1{a+12}\right)$$
$$=\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+12}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac13\left(\frac1a-\frac1{a+12}\right) =\frac13\cdot\frac{a+12-a}{a(a+12)} =\frac13\cdot\frac{12}{a(a+12)} =\frac{4}{a(a+12)}.$$

Ответ: $$\frac{4}{a(a+12)}$$