Упр.1075 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

1. а) $$\frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36}=\frac{144}{(a^2-36)^2}$$;
   б) $$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1$$.

1) Преобразуем знаменатели:

$$a^2+12a+36=(a+6)^2,\qquad a^2-12a+36=(a-6)^2,\qquad 36-a^2=-(a^2-36).$$

Тогда

$$\frac{1}{(a+6)^2}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{(a-6)^2} = \frac{1}{(a+6)^2}-\frac{2}{(a-6)(a+6)}+\frac{1}{(a-6)^2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(a-6)^2-2(a-6)(a+6)+(a+6)^2}{(a-6)^2(a+6)^2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(a-6)^2-2(a-6)(a+6)+(a+6)^2$$
$$=a^2-12a+36-2(a^2-36)+a^2+12a+36=144.$$

Значит,

$$\frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36} = \frac{144}{(a^2-36)^2}.$$

2) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$$
$$= \frac{a^2(b-c)-b^2(a-c)+c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a^2b-a^2c-ab^2+b^2c+ac^2-bc^2.$$

Сгруппируем:

$$a^2b-ab^2-a^2c+ac^2+b^2c-bc^2$$
$$=ab(a-b)-ac(a-c)+bc(b-c).$$

Удобнее заметить, что числитель раскладывается так:

$$a^2(b-c)-b^2(a-c)+c^2(a-b)=(a-b)(a-c)(b-c).$$

Тогда

$$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1.$$

Ответ

1) $$\frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36}=\frac{144}{(a^2-36)^2}$$

2) $$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1$$