Упр.1075 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 1/(a2+12+36) + 2/(36-a2) + 1/(a2-12a+36) = 144/(a2-36)2;
2) a2/((a-b)(a-c)) + b2/((b-a)(b-c)) + c2/((c-a)(c-b)) = 1.

1) Преобразуем знаменатели:

$$a^2+12a+36=(a+6)^2,\qquad a^2-12a+36=(a-6)^2,\qquad 36-a^2=-(a^2-36).$$

Тогда

$$ \frac{1}{(a+6)^2}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{(a-6)^2} = \frac{1}{(a+6)^2}-\frac{2}{(a-6)(a+6)}+\frac{1}{(a-6)^2}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(a-6)^2-2(a-6)(a+6)+(a+6)^2}{(a-6)^2(a+6)^2}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (a-6)^2-2(a-6)(a+6)+(a+6)^2 $$
$$ =a^2-12a+36-2(a^2-36)+a^2+12a+36=144. $$

Значит,

$$ \frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36} = \frac{144}{(a^2-36)^2}. $$

2) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)} $$
$$ = \frac{a^2(b-c)-b^2(a-c)+c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ a^2b-a^2c-ab^2+b^2c+ac^2-bc^2. $$

Сгруппируем:

$$ a^2b-ab^2-a^2c+ac^2+b^2c-bc^2 $$
$$ =ab(a-b)-ac(a-c)+bc(b-c). $$

Удобнее заметить, что числитель раскладывается так:

$$ a^2(b-c)-b^2(a-c)+c^2(a-b)=(a-b)(a-c)(b-c). $$

Тогда

$$ \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1. $$

Ответ

1) $$\frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36}=\frac{144}{(a^2-36)^2}$$

2) $$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1$$