Упр.10.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (x^2+1)/x^2 ?0;
2) (x^2+1)/(x^2+1) < 1; 3) (x^2-1)/(x^2-1)?1; 4) x^2/(x^2+1)?0.

Рассмотрим каждое неравенство.

1. $$\frac{x^2+1}{x^2}\ge 0,\quad x\ne 0$$

   Числитель $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, а знаменатель $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$. Значит, дробь положительна при всех допустимых значениях $$x$$.

   Следовательно, решением является любое число, кроме $$0$$.

2. $$\frac{x^2+1}{x^2+1}<1$$

   При всех $$x$$, для которых выражение определено, имеем

   $$\frac{x^2+1}{x^2+1}=1.$$

   Тогда получаем противоречие:

   $$1<1,$$

   то есть решений нет.

3. $$\frac{x^2-1}{x^2-1}\ge 1$$

   При $$x^2-1\ne 0$$ дробь равна $$1$$, значит неравенство выполняется для всех допустимых $$x$$.

   Но область определения: $$x^2-1\ne 0$$, то есть $$x\ne \pm 1$$.

   Следовательно, решение — все числа, кроме $$-1$$ и $$1$$.

4. $$\frac{x^2}{x^2+1}\ge 0$$

   Числитель $$x^2\ge 0$$ при любом $$x$$, а знаменатель $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$.

   Значит, дробь неотрицательна при любом $$x$$, то есть решением является любое число.

Ответ: любое число — 4); решений нет — 2).