Упр.10.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение $$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c}}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$$.

Преобразуем первую дробь:

$$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b+c}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b+c}} = \frac{\frac{b+c+a}{a(b+c)}}{\frac{b+c-a}{a(b+c)}} = \frac{b+c+a}{b+c-a}.$$

Тогда всё выражение равно

$$\frac{b+c+a}{b+c-a}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right).$$

Упростим скобки:

$$1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc}.$$

Подставим:

$$\frac{b+c+a}{b+c-a}\cdot \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc} = \frac{(b+c+a)^2}{2bc}.$$

Ответ

$$\frac{(a+b+c)^2}{2bc}$$