Упр.10.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 10.44. Приведите пример ста попарно различных множеств таких, что объединение любых двух из них содержит каждое из остальных 98 в качестве подмножества. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 10-44 827

Предположим, что такие сто попарно различных множеств существуют и обозначим их через $$N_1, N_2, N_3, \ldots, N_{100}.$$

Тогда для любых двух из них объединение должно содержать остальные 98 множеств как подмножества. В частности, для пары $$N_1$$ и $$N_2$$ имеем

$$N_1 \cup N_2 \supset N_3, N_4, \ldots, N_{100}.$$

Значит, каждое из множеств $$N_3, N_4, \ldots, N_{100}$$ должно быть подмножеством $$N_1 \cup N_2.$$

Аналогично, для пары $$N_1$$ и $$N_{99}$$ получаем

$$N_1 \cup N_{99} \supset N_2, N_3, \ldots, N_{98}, N_{100},$$

а для пары $$N_{99}$$ и $$N_{100}$$ —

$$N_{99} \cup N_{100} \supset N_1, N_2, \ldots, N_{97}, N_{98}.$$

Но тогда каждое множество должно одновременно входить в объединения любых двух множеств, что невозможно для ста попарно различных множеств: при выборе любой пары найдутся элементы, которые должны принадлежать всем таким объединениям, а это приводит к противоречию с попарной различностью множеств.

Следовательно, таких множеств не существует.

Ответ

Таких ста попарно различных множеств не существует.