Упр.10.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

10.42. При каких значениях параметра $$a$$ первое из неравенств в паре является следствием второго неравенства:

$$2x-a>0$$ и $$x+2a-3>0$$;
$$3x+a?0$$ и $$2x-a+4<0$$;
$$x+a-3>0$$ и $$\frac{x}{2}+a-1?0$$;
$$ax<1$$ и $$x>1$$;
$$x>0$$ и $$ax>1$$?

Подробный ответ

$$2x-a>0,\quad x+2a-3>0$$
Из первого неравенства:
$$2x>a,\quad x>\frac a2.$$
Из второго неравенства:
$$x>3-2a.$$
Чтобы первое неравенство было следствием второго, должно выполняться
$$\frac a2\le 3-2a.$$
$$\frac a2+2a\le 3$$
$$\frac{5a}{2}\le 3$$
$$a\le \frac{6}{5}.$$
$$3x+a\le 0,\quad 2x-a+4<0$$
Из первого неравенства:
$$3x\le -a,\quad x\le -\frac a3.$$
Из второго неравенства:
$$2x<a-4,\quad x<\frac{a-4}{2}.$$
Тогда
$$-\frac a3\ge \frac{a-4}{2}.$$
$$-2a\ge 3(a-4)$$
$$-2a\ge 3a-12$$
$$-5a\ge -12$$
$$a\le \frac{12}{5}.$$
$$x+a-3>0,\quad \frac x2+a-1\ge 0$$
Из первого неравенства:
$$x>3-a.$$
Из второго неравенства:
$$\frac x2\ge 1-a,\quad x\ge 2(1-a).$$
Чтобы первое неравенство было следствием второго, нужно
$$3-a<2(1-a).$$
$$3-a<2-2a$$
$$a<-1.$$
$$ax<1,\quad x>1$$
Если $$a>0$$, то
$$x<\frac1a,\quad x>1.$$
Чтобы первое неравенство следовало из второго, нужно, чтобы при $$x>1$$ всегда выполнялось $$x<\frac1a$$, то есть
$$\frac1a\le 1,$$
откуда $$a\ge 1.$$
Если $$a=0$$, то $$0<1$$, и первое неравенство выполняется при любом $$x$$.
Если $$a<0$$, то из $$x>1$$ следует $$ax<1$$.
Значит, $$a\le 0$$.
$$x>0,\quad ax>1$$
Если $$a>0$$, то
$$x>\frac1a,\quad x>0.$$
Чтобы первое неравенство было следствием второго, нужно
$$\frac1a\ge 0,$$
что верно при $$a>0$$.
Если $$a<0$$, то из $$ax>1$$ следует $$x<\frac1a$$, и тогда при $$x>0$$ первое неравенство не является следствием второго.
Если $$a=0$$, то $$0>1$$ — решений нет.
Следовательно, $$a>0$$.