Упр.10.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) ax > 0; 4) (a-2)x > a^2-4;
2) ax < 1; 5) (a+3)x?a^2-9; 3) ax?a; 6) 2(x-a) < ax-4.

1. $$ax>0$$

   Если $$a>0$$, то при делении на положительное число знак неравенства не меняется:

   $$x>0$$

   Если $$a<0$$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

   $$x<0$$

   Если $$a=0$$, получаем $$0>0$$, что неверно, значит решений нет.

2. $$ax<1$$

   Если $$a>0$$, то

   $$x<\frac{1}{a}$$

   Если $$a<0$$, то

   $$x>\frac{1}{a}$$

   Если $$a=0$$, получаем $$0<1$$, верно при любом $$x$$, значит решение — любое число.

3. $$ax\ge a$$

   Если $$a>0$$, то

   $$x\ge 1$$

   Если $$a<0$$, то

   $$x\le 1$$

   Если $$a=0$$, получаем $$0\ge 0$$, верно при любом $$x$$, значит решение — любое число.

4. $$\left(a-2\right)x>a^2-4$$

   Разложим правую часть на множители:

   $$a^2-4=\left(a-2\right)\left(a+2\right)$$

   Тогда

   $$\left(a-2\right)x>\left(a-2\right)\left(a+2\right)$$

   Если $$a>2$$, то

   $$x>a+2$$

   Если $$a<2$$, то при делении на отрицательное число знак меняется:

   $$x<a+2$$

   Если $$a=2$$, получаем $$0>0$$, решений нет.

5. $$\left(a+3\right)x\le a^2-9$$

   Разложим правую часть:

   $$a^2-9=\left(a-3\right)\left(a+3\right)$$

   Тогда

   $$\left(a+3\right)x\le \left(a-3\right)\left(a+3\right)$$

   Если $$a>-3$$, то

   $$x\le a-3$$

   Если $$a<-3$$, то

   $$x\ge a-3$$

   Если $$a=-3$$, получаем $$0\le 0$$, значит решение — любое число.

6. $$2\left(x-a\right)<ax-4$$

   Раскроем скобки и перенесём слагаемые:

   $$2x-2a<ax-4$$

   $$2x-ax<2a-4$$

   $$x\left(2-a\right)<2\left(a-2\right)$$

   Заметим, что $$2\left(a-2\right)=-2\left(2-a\right)$$, поэтому

   $$x\left(2-a\right)<-2\left(2-a\right)$$

   Если $$a<2$$, то $$2-a>0$$, и

   $$x<-2$$

   Если $$a>2$$, то $$2-a<0$$, и знак неравенства меняется:

   $$x>-2$$

   Если $$a=2$$, получаем $$0<0$$, решений нет.

Ответ

1) $$a>0:\ x>0;\quad a<0:\ x<0;\quad a=0:\ \text{решений нет}.$$
2) $$a>0:\ x<\frac{1}{a};\quad a<0:\ x>\frac{1}{a};\quad a=0:\ x\in\mathbb{R}.$$
3) $$a>0:\ x\ge 1;\quad a<0:\ x\le 1;\quad a=0:\ x\in\mathbb{R}.$$
4) $$a>2:\ x>a+2;\quad a<2:\ x<a+2;\quad a=2:\ \text{решений нет}.$$
5) $$a>-3:\ x\le a-3;\quad a<-3:\ x\ge a-3;\quad a=-3:\ x\in\mathbb{R}.$$
6) $$a<2:\ x<-2;\quad a>2:\ x>-2;\quad a=2:\ \text{решений нет}.$$