Упр.10.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) |x| > 0; 5) |1/x| > -2; 9) |x|/x?1;
2) |x|?0; 6) |x| > -|x-4|; 10) |x|+x > -x^2;
3) |x| < 0; 7) |1/x| > -|x|; 11) |x|+x?-x^2;
4) |x| > -2; 8) |x|/x < 1; 12) |x|-x?-x^2.

Подробный ответ

$$|x|>0$$
Модуль равен нулю только при $$x=0$$, значит неравенство верно при всех $$x\ne 0$$.
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$|x|\le 0$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то неравенство выполняется только при $$x=0$$.
Ответ: $$x=0$$
$$|x|<0$$
Модуль не может быть отрицательным числом, поэтому решений нет.
Ответ: $$\varnothing$$
$$|x|>-2$$
Так как $$|x|\ge 0$$, то неравенство верно при любом $$x$$.
Ответ: $$(-\infty;+\infty)$$
$$\left|\frac{1}{x}\right|>-2$$
При $$x\ne 0$$ левая часть неотрицательна, значит неравенство верно при всех допустимых $$x$$.
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$|x|>-|x-4|$$
Левая часть неотрицательна, правая не положительна, поэтому неравенство верно при всех $$x$$, кроме случаев, когда обе части равны нулю:
$$|x|=0 \Rightarrow x=0,$$
$$|x-4|=0 \Rightarrow x=4.$$
Значит, исключаем $$x=0$$ и $$x=4$$.
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;4)\cup(4;+\infty)$$
$$\left|\frac{1}{x}\right|>-|x|$$
При $$x\ne 0$$ левая часть положительна, а правая не положительна, значит неравенство верно при всех допустимых $$x$$.
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$\frac{|x|}{x}<1$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Если $$x>0$$, то $$\frac{|x|}{x}=1$$, и неравенство не выполняется.
Если $$x<0$$, то $$\frac{|x|}{x}=-1$$, и неравенство выполняется.
Ответ: $$(-\infty;0)$$
$$\frac{|x|}{x}\le 1$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Если $$x>0$$, то $$\frac{|x|}{x}=1$$, неравенство верно.
Если $$x<0$$, то $$\frac{|x|}{x}=-1$$, неравенство тоже верно.
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$|x|+x>-x^2$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$x+x>-x^2$$
$$x^2+2x>0$$
$$x(x+2)>0.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$x>0$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$-x+x>-x^2$$
$$0>-x^2,$$
что неверно.
Ответ: $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
$$|x|+x\le -x^2$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$x+x\le -x^2$$
$$x^2+2x\le 0$$
$$x(x+2)\le 0.$$
С учётом $$x\ge 0$$ получаем только $$x=0$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$-x+x\le -x^2$$
$$0\le -x^2,$$
откуда снова $$x=0$$, но это не подходит условию $$x<0$$.
Ответ: $$x=0$$
$$|x|-x\le -x^2$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$:
$$x-x\le -x^2$$
$$0\le -x^2,$$
значит $$x=0$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$:
$$-x-x\le -x^2$$
$$-2x+x^2\le 0$$
$$x(x-2)\le 0.$$
При $$x<0$$ это неравенство выполняется, но из условия $$x<0$$ и проверки получаем, что подходит только $$x=0$$, а он не входит в этот случай.
Ответ: $$x=0$$