Упр.10.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
1) (x+2)^2 > 0; 6) |x| > -1; 11) |x| > -x^2;
2) (x+2)^2?0; 7) |x^2-3x-2| < -1; 12) |x| > x;
3) (x+2)/(x+2) > 2/3; 8) |1/(x+3)| > -2; 13) |x|?-x;
4) ((x+2)/(x-2))^2 > 0; 9) |x^2-4|?0; 14) |x|/x?1;
5) ((x+2)/(x-2))^2?0; 10) |x|?-x^2; 15) |x|-x?-x^2.
$$ (x+2)^2>0 $$
Квадрат числа положителен при всех $x$, кроме случая, когда он равен нулю:
$$ x+2=0,\quad x=-2. $$
Следовательно,
$$ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty). $$
$$ (x+2)^2\le 0 $$
Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, то неравенство выполняется только при
$$ x+2=0,\quad x=-2. $$
$$ \frac{x+2}{x+2}>\frac23,\quad x\ne -2 $$
При $$ x\ne -2 $$ имеем
$$ 1>\frac23, $$
значит, неравенство верно при всех $$ x\ne -2 $$.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty). $$
$$ \left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2>0,\quad x\ne 2 $$
Квадрат дроби положителен при всех допустимых значениях, кроме случая, когда числитель равен нулю:
$$ x+2=0,\quad x=-2. $$
Также исключаем $$ x=2 $$.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty). $$
$$ \left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2\ge 0,\quad x\ne 2 $$
Квадрат неотрицателен при всех допустимых значениях, значит, решение — все $$ x $$, кроме $$ x=2 $$.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty). $$
$$ |x|>-1 $$
Так как $$ |x|\ge 0 $$, то неравенство верно при любом $$ x $$.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;+\infty). $$
$$ |x^2-3x-2|<-1 $$
Модуль не может быть отрицательным, поэтому решений нет.
Ответ:
$$ \varnothing. $$
$$ \left|\frac1{x+3}\right|>-2,\quad x\ne -3 $$
Так как $$ \left|\frac1{x+3}\right|\ge 0 $$, то неравенство верно при всех допустимых $$ x $$.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty). $$
$$ |x^2-4|\le 0 $$
Модуль неотрицателен, значит, равенство возможно только при
$$ x^2-4=0,\quad x^2=4,\quad x=\pm2. $$
Ответ:
$$ x=\pm2. $$
$$ |x|\ge -x^2 $$
Перенесём всё в левую часть:
$$ |x|+x^2\ge 0. $$
Так как $$ |x|\ge 0 $$ и $$ x^2\ge 0 $$, то неравенство верно при любом $$ x $$.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;+\infty). $$
$$ |x|>-x^2 $$
Перенесём всё в левую часть:
$$ |x|+x^2>0. $$
Так как $$ |x|\ge 0 $$ и $$ x^2\ge 0 $$, то сумма положительна при всех $$ x\ne 0 $$.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty). $$
$$ |x|>x $$
Рассмотрим случаи:
если $$ x<0 $$, то $$ |x|=-x $$ и $$ -x>x $$, то есть неравенство верно;
если $$ x=0 $$, то $$ 0>0 $$ — неверно;
если $$ x>0 $$, то $$ |x|=x $$ и получаем $$ x>x $$ — неверно.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;0). $$
$$ |x|>-x $$
Если $$ x>0 $$, то $$ |x|=x $$ и $$ x>-x $$, значит, неравенство верно.
Если $$ x<0 $$, то $$ |x|=-x $$ и получаем $$ -x>-x $$, что неверно.
Если $$ x=0 $$, то $$ 0>0 $$ неверно.
Ответ:
$$ x\in(0;+\infty). $$
$$ \frac{|x|}{x}\ge 1,\quad x\ne 0 $$
Если $$ x>0 $$, то $$ \frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1 $$, неравенство верно.
Если $$ x<0 $$, то $$ \frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1 $$, неравенство неверно.
Ответ:
$$ x\in(0;+\infty). $$
$$ |x|-x\ge -x^2 $$
Перенесём всё в левую часть:
$$ |x|+x^2-x\ge 0. $$
Если $$ x\ge 0 $$, то $$ |x|=x $$ и получаем
$$ x+x^2-x=x^2\ge 0. $$
Если $$ x<0 $$, то $$ |x|=-x $$ и получаем
$$ -x+x^2-x=x^2-2x>0. $$
Следовательно, неравенство верно при любом $$ x $$.
Ответ:
$$ x\in(-\infty;+\infty). $$
Ответ
1) $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$; 2) $$x=-2$$; 3) $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$; 5) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$; 6) $$(-\infty;+\infty)$$; 7) $$\varnothing$$; 8) $$(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$$; 9) $$x=\pm2$$; 10) $$(-\infty;+\infty)$$; 11) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; 12) $$(-\infty;0)$$; 13) $$(-\infty;+\infty)$$; 14) $$ (0;+\infty)$$; 15) $$(-\infty;+\infty)$$.
