Упр.1.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что $$\{x\mid x=4n-1,\ n\in\mathbb{Z}\}=\{x\mid x=4m+3,\ m\in\mathbb{Z}\}$$.

Рассмотрим множество $$\{x \mid x=4n-1,\ n\in \mathbb{Z}\}.$$

Преобразуем его элементы:

$$x=4n-1=4(n-1)+3.$$

Так как при $$n\in \mathbb{Z}$$ число $$n-1$$ тоже является целым, то каждый элемент этого множества можно записать в виде $$4m+3$$, где $$m\in \mathbb{Z}$$.

Значит,

$$\{x \mid x=4n-1,\ n\in \mathbb{Z}\}\subseteq \{x \mid x=4m+3,\ m\in \mathbb{Z}\}.$$

Теперь рассмотрим множество $$\{x \mid x=4m+3,\ m\in \mathbb{Z}\}.$$

Преобразуем его элементы:

$$x=4m+3=4(m+1)-1.$$

Так как при $$m\in \mathbb{Z}$$ число $$m+1$$ тоже целое, то каждый элемент этого множества можно записать в виде $$4n-1$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$.

Следовательно,

$$\{x \mid x=4m+3,\ m\in \mathbb{Z}\}\subseteq \{x \mid x=4n-1,\ n\in \mathbb{Z}\}.$$

Из двух включений получаем равенство множеств:

$$\{x \mid x=4n-1,\ n\in \mathbb{Z}\}=\{x \mid x=4m+3,\ m\in \mathbb{Z}\}.$$

Ответ

$$\{x \mid x=4n-1,\ n\in \mathbb{Z}\}=\{x \mid x=4m+3,\ m\in \mathbb{Z}\}.$$