Упр.1.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Какие из следующих множеств равны пустому множеству:

1. $$A=\{x\mid x\ne x\}$$;
2. $$B=\left\{x\mid x\in\mathbb{Z},\ \frac{1}{2}x-2=0\right\}$$;
3. $$C=\{x\mid x\in\mathbb{Z},\ |x|<1\}$$;
4. $$D=\{x\mid 3x^4+5x^2+7=0\}$$;
5. $$E=\{x\mid x>|x|\}$$?

1. $$A=\{x \mid x\ne x\}$$
   Для любого числа верно $$x=x$$, значит условие $$x\ne x$$ невыполнимо. Поэтому
   $$A=\varnothing.$$
2. $$B=\{x \mid x\in \mathbb{Z},\ \frac12 x-2=0\}$$
   Решим уравнение:
   $$\frac12 x-2=0 \\ \frac12 x=2 \\ x=4$$
   Тогда $$B=\{4\}$$, множество не пустое.
3. $$C=\{x \mid x\in \mathbb{Z},\ |x|<1\}$$ Среди целых чисел неравенству $$|x|<1$$ удовлетворяет только $$x=0$$, значит $$C=\{0\}$$.
4. $$D=\{x \mid 3x^4+5x^2+7=0\}$$
   Так как $$3x^4\ge 0$$, $$5x^2\ge 0$$ и $$7>0$$, то
   $$3x^4+5x^2+7>0$$
   при любом $$x$$. Равенство нулю невозможно, значит
   $$D=\varnothing.$$
5. $$E=\{x \mid x>|x|\}$$
   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и неравенство превращается в $$x>x$$, что невозможно.
   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и получаем $$x>-x$$, то есть $$2x>0$$, что противоречит $$x<0$$. Следовательно, $$E=\varnothing.$$

Ответ

Пустому множеству равны множества $$A$$, $$D$$ и $$E$$.