Задание 9 Параграф 11 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) Постройте график данной функции.
2) Определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком одну общую точку.
3) Существует ли такое значение c, что прямая y=c имеет с графиком две общие точки?
4) Какое наибольшее количество общих точек может иметь с графиком прямая y=c и при каких значениях c?

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{8}{x}, & x\le -2,\\ x^2, & -2<x<2,\\ \dfrac{8}{x}, & x\ge 2. \end{cases} $$

Построим её график по частям:

• при $$x\le -2$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{8}{x}$$;
• при $$-2<x<2$$ — часть параболы $$y=x^2$$;
• при $$x\ge 2$$ — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{8}{x}$$.

В точках $$x=-2$$ и $$x=2$$ получаем:

$$f(-2)=\dfrac{8}{-2}=-4,\qquad f(2)=\dfrac{8}{2}=4.$$

Значит, на графике есть закрашенные точки $$(-2,-4)$$ и $$ (2,4) $$, а на параболе точки при $$x=-2$$ и $$x=2$$ не входят в график.

Теперь рассмотрим пересечения с прямой $$y=c$$.

• На участке $$y=x^2$$ при $$-2<x<2$$ значения функции лежат в промежутке $$0\le y<4$$.
• На левой ветви $$y=\dfrac{8}{x}$$ при $$x\le -2$$ значения лежат в промежутке $$-4\le y<0$$.
• На правой ветви $$y=\dfrac{8}{x}$$ при $$x\ge 2$$ значения лежат в промежутке $$0<y\le 4$$.

Отсюда:

1. Одна общая точка будет, если прямая касается графика только в одной точке. Это происходит при $$-4\le c\le 0$$ и при $$c=4$$.
2. Двух общих точек не бывает: при любом допустимом $$c$$ пересечений либо одна, либо три.
3. Наибольшее число общих точек равно трём. Это возможно при $$0<c<4$$: тогда прямая пересекает левую ветвь гиперболы, параболу и правую ветвь гиперболы.

Ответ

1) График состоит из части параболы $$y=x^2$$ при $$-2<x<2$$ и двух ветвей гиперболы $$y=\dfrac{8}{x}$$ при $$x\le -2$$ и $$x\ge 2$$; точки $$(-2,-4)$$ и $$(2,4)$$ закрашены.

2) При $$-4\le c\le 0$$ и при $$c=4$$.

3) Нет, не существует.

4) Максимум три общие точки, при $$0<c<4$$.