Задание 9 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Упростите выражение:
- 1) $$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}$$; 2) $$\frac{\frac{a-c}{b-c}-\frac{b+c}{a+c}}{\frac{a+c}{b-c}+\frac{c-b}{a+c}}$$.
1) $$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}}=\frac{\frac{a^2+b^2}{ab}}{\frac{a^2-b^2}{ab}}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}.$$
2) $$\frac{\frac{a-c}{b-c}-\frac{b+c}{a+c}}{\frac{a+c}{b-c}+\frac{c-b}{a+c}}.$$
Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю $$\left(b-c\right)\left(a+c\right):$$
$$\frac{\frac{(a-c)(a+c)-(b+c)(b-c)}{(b-c)(a+c)}}{\frac{(a+c)^2+(c-b)(b-c)}{(b-c)(a+c)}}=\frac{(a-c)(a+c)-(b+c)(b-c)}{(a+c)^2+(c-b)(b-c)}.$$
Упростим:
$$(a-c)(a+c)=a^2-c^2, \qquad (b+c)(b-c)=b^2-c^2,$$
$$(a+c)^2+(c-b)(b-c)=a^2+2ac+c^2-(b-c)^2=a^2+2ac+2bc-b^2.$$
Тогда
$$\frac{a^2-c^2-(b^2-c^2)}{a^2+2ac+2bc-b^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2+2c(a+b)-b^2}.$$
Разложим на множители:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$
$$a^2+2c(a+b)-b^2=(a+b)(a-b+2c).$$
Следовательно,
$$\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)(a-b+2c)}=\frac{a-b}{a-b+2c}.$$
Ответ: 1) $$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$; 2) $$\frac{a-b}{a-b+2c}$$.
