Задание 9 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (a/b+b/a)/(a/b-b/a);
2) ((a-c)/(b-c)-(b+c)/(a+c))/((a+c)/(b-c)+(c-b)/(a+c)).

Подробный ответ

1) Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на $$ab$$:

$$ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}-\frac{b}{a}} = \frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\cdot ab}{\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\cdot ab} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}. $$

2) Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $$(b-c)(a+c)$$:

$$ \frac{\frac{a-c}{b-c}-\frac{b+c}{a+c}}{\frac{a+c}{b-c}+\frac{c-b}{a+c}} = \frac{\left(\frac{a-c}{b-c}-\frac{b+c}{a+c}\right)(b-c)(a+c)}{\left(\frac{a+c}{b-c}+\frac{c-b}{a+c}\right)(b-c)(a+c)} $$

$$ = \frac{(a-c)(a+c)-(b+c)(b-c)}{(a+c)^2+(c-b)(b-c)}. $$

Раскроем скобки:

$$ (a-c)(a+c)=a^2-c^2,\qquad (b+c)(b-c)=b^2-c^2, $$

$$ (a+c)^2+(c-b)(b-c)=a^2+2ac+c^2-(b-c)^2=a^2+2ac+2bc-b^2. $$

Тогда

$$ \frac{a^2-c^2-(b^2-c^2)}{a^2+2ac+2bc-b^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2+2c(a+b)-b^2}. $$

Разложим на множители:

$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b), $$

$$ a^2+2c(a+b)-b^2=(a+b)(a-b+2c). $$

Сократим на $$a+b$$:

$$ \frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)(a-b+2c)}=\frac{a-b}{a-b+2c}. $$