Задание 9 Параграф 3 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все натуральные значения $$n$$, при которых является целым числом значение выражения:
   
   1) $$\frac{4n^2-5n-6}{n}$$;
   
   2) $$\frac{5n^2+3n+14}{n}$$;
   
   3) $$\frac{10n+5}{5n-2}$$;
   
   4) $$\frac{21n-1}{7n+1}$$.

1) $$\frac{4n^2-5n-6}{n}=4n-5-\frac{6}{n}.$$

Чтобы выражение было целым, число $$\frac{6}{n}$$ должно быть целым. Это возможно при натуральных $$n$$, являющихся делителями числа $$6$$:

$$n=1,2,3,6.$$

2) $$\frac{5n^2+3n+14}{n}=5n+3+\frac{14}{n}.$$

Чтобы выражение было целым, число $$\frac{14}{n}$$ должно быть целым. Значит, $$n$$ — делитель числа $$14$$:

$$n=1,2,7,14.$$

3) $$\frac{10n+5}{5n-2}=2+\frac{9}{5n-2}.$$

Чтобы выражение было целым, число $$\frac{9}{5n-2}$$ должно быть целым. Тогда $$5n-2$$ — делитель числа $$9$$, то есть

$$5n-2=1,3,9.$$

Проверим:

$$5n-2=1 \Rightarrow n=\frac{3}{5}; \quad 5n-2=3 \Rightarrow n=1; \quad 5n-2=9 \Rightarrow n=\frac{11}{5}.$$

Натуральное значение подходит только одно:

$$n=1.$$

4) $$\frac{21n-1}{7n+1}=3-\frac{4}{7n+1}.$$

Чтобы выражение было целым, число $$\frac{4}{7n+1}$$ должно быть целым. Значит, $$7n+1$$ — делитель числа $$4$$:

$$7n+1=1,2,4.$$

Проверим:

$$7n+1=1 \Rightarrow n=0; \quad 7n+1=2 \Rightarrow n=\frac{1}{7}; \quad 7n+1=4 \Rightarrow n=\frac{3}{7}.$$

Натуральных значений нет.

Ответ: 1) $$n=1,2,3,6$$; 2) $$n=1,2,7,14$$; 3) $$n=1$$; 4) таких $$n$$ не существует.