Задание 9 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (x^2+x+2)(x^2+x+4)=24;
2) (x^2+4x-1)(x^2+4x+3)=32;
3) (2x+1)/x+4x/(2x+1)=5;
4) (2-x)/(x+3)-(6x+18)/(2-x)=1.

Подробный ответ

$$\left(x^2+x+2\right)\left(x^2+x+4\right)=24$$
Пусть $$x^2+x+3=t.$$ Тогда
$$x^2+x+2=t-1,\qquad x^2+x+4=t+1.$$
Получаем:
$$\left(t-1\right)\left(t+1\right)=24$$
$$t^2-1=24$$
$$t^2=25$$
$$t=-5 \text{ или } t=5.$$
Если $$t=-5,$$ то
$$x^2+x+3=-5$$
$$x^2+x+8=0,$$
$$D=1-32=-31<0,$$ корней нет.
Если $$t=5,$$ то
$$x^2+x+3=5$$
$$x^2+x-2=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.$$
$$x=-2 \text{ или } x=1.$$
$$\left(x^2+4x-1\right)\left(x^2+4x+3\right)=32$$
Пусть $$x^2+4x+1=t.$$ Тогда
$$x^2+4x-1=t-2,\qquad x^2+4x+3=t+2.$$
Получаем:
$$\left(t-2\right)\left(t+2\right)=32$$
$$t^2-4=32$$
$$t^2=36$$
$$t=-6 \text{ или } t=6.$$
Если $$t=-6,$$ то
$$x^2+4x+1=-6$$
$$x^2+4x+7=0,$$
$$D=16-28=-12<0,$$ корней нет.
Если $$t=6,$$ то
$$x^2+4x+1=6$$
$$x^2+4x-5=0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-1\right)=0.$$
$$x=-5 \text{ или } x=1.$$
$$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{2x+1}=5,$\qquad x\ne 0,\; x\ne -\frac12.$$
Пусть $$\frac{2x+1}{x}=t.$$ Тогда
$$\frac{4x}{2x+1}=\frac{4}{t}.$$
Получаем:
$$t+\frac{4}{t}=5$$
$$t^2-5t+4=0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-4\right)=0.$$
Значит, $$t=1$$ или $$t=4.$$
Если $$\frac{2x+1}{x}=1,$$ то
$$2x+1=x$$
$$x=-1.$$
Если $$\frac{2x+1}{x}=4,$$ то
$$2x+1=4x$$
$$2x=1$$
$$x=\frac12.$$
$$\frac{2-x}{x+3}-\frac{6x+18}{2-x}=1,\qquad x\ne -3,\; x\ne 2.$$
Пусть $$\frac{2-x}{x+3}=t.$$ Тогда
$$\frac{6x+18}{2-x}=\frac{6(x+3)}{2-x}=\frac{6}{t}.$$
Получаем:
$$t-\frac{6}{t}=1$$
$$t^2-t-6=0$$
$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0.$$
Значит, $$t=3$$ или $$t=-2.$$
Если $$\frac{2-x}{x+3}=3,$$ то
$$2-x=3\left(x+3\right)$$
$$2-x=3x+9$$
$$-4x=7$$
$$x=-\frac74.$$
Если $$\frac{2-x}{x+3}=-2,$$ то
$$2-x=-2\left(x+3\right)$$
$$2-x=-2x-6$$
$$x=-8.$$