Задание 9 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1) $$(x^2+x+2)(x^2+x+4)=24$$;
2) $$(x^2+4x-1)(x^2+4x+3)=32$$;
3) $$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{2x+1}=5$$;
4) $$\frac{2-x}{x+3}-\frac{6x+18}{2-x}=1$$.

1) Обозначим $$x^2+x+3=t.$$ Тогда

$$x^2+x+2=t-1,\qquad x^2+x+4=t+1.$$

Получаем:

$$(t-1)(t+1)=24 \\\\ t^2-1=24 \\\\ t^2=25 \\\\ t=-5 \text{ или } t=5.$$

Если $$t=-5,$$ то

$$x^2+x+3=-5 \Rightarrow x^2+x+8=0,$$

$$D=1-32=-31<0,$$

корней нет.

Если $$t=5,$$ то

$$x^2+x+3=5 \Rightarrow x^2+x-2=0,$$

$$(x+2)(x-1)=0 \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=1.$$

2) Обозначим $$x^2+4x+1=t.$$ Тогда

$$x^2+4x-1=t-2,\qquad x^2+4x+3=t+2.$$

Получаем:

$$(t-2)(t+2)=32 \\\\ t^2-4=32 \\\\ t^2=36 \\\\ t=-6 \text{ или } t=6.$$

Если $$t=-6,$$ то

$$x^2+4x+1=-6 \Rightarrow x^2+4x+7=0,$$

$$D=16-28=-12<0,$$

корней нет.

Если $$t=6,$$ то

$$x^2+4x+1=6 \Rightarrow x^2+4x-5=0,$$

$$(x+5)(x-1)=0 \Rightarrow x=-5 \text{ или } x=1.$$

3) ОДЗ: $$x\ne 0,$$ $$x\ne -\frac12.$$ Обозначим

$$\frac{2x+1}{x}=t.$$ Тогда

$$\frac{4x}{2x+1}=\frac{4}{t}.$$

Получаем:

$$t+\frac{4}{t}=5 \\\\ t^2+4=5t \\\\ t^2-5t+4=0 \\\\ (t-1)(t-4)=0.$$

Значит, $$t=1$$ или $$t=4.$$

Если $$t=1,$$ то

$$\frac{2x+1}{x}=1 \Rightarrow 2x+1=x \Rightarrow x=-1.$$

Если $$t=4,$$ то

$$\frac{2x+1}{x}=4 \Rightarrow 2x+1=4x \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12.$$

4) ОДЗ: $$x\ne -3,$$ $$x\ne 2.$$ Обозначим

$$\frac{2-x}{x+3}=t.$$ Тогда

$$\frac{6x+18}{2-x}=\frac{6(x+3)}{2-x}=\frac{6}{t}.$$

Получаем:

$$t-\frac{6}{t}=1 \\\\ t^2-6=t \\\\ t^2-t-6=0 \\\\ (t-3)(t+2)=0.$$

Значит, $$t=3$$ или $$t=-2.$$

Если $$t=3,$$ то

$$\frac{2-x}{x+3}=3 \Rightarrow 2-x=3(x+3) \Rightarrow 2-x=3x+9 \Rightarrow -4x=7 \Rightarrow x=-\frac74.$$

Если $$t=-2,$$ то

$$\frac{2-x}{x+3}=-2 \Rightarrow 2-x=-2(x+3) \Rightarrow 2-x=-2x-6 \Rightarrow x=-8.$$

Ответ: 1) $$x=-2,\ 1$$; 2) $$x=-5,\ 1$$; 3) $$x=-1,\ \frac12$$; 4) $$x=-\frac74,\ -8$$.