Задание 8 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\frac{13}{2x^2+x-21}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{x^2-9}$$;
2. $$\frac{x}{x-2}+\frac{x+2}{x+4}=\frac{12}{x^2+2x-8}$$;
3. $$\frac{2}{x+3}+\frac{x^2+5}{x^3+27}=\frac{5x}{x^2-3x+9}$$.

1) $$\frac{13}{2x^2+x-21}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{x^2-9}.$$

Разложим знаменатели на множители:

$$2x^2+x-21=(2x+7)(x-3), \qquad x^2-9=(x-3)(x+3).$$

Тогда

$$\frac{13}{(2x+7)(x-3)}+\frac{1}{2x+7}-\frac{6}{(x-3)(x+3)}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{13+(x-3)-6(2x+7)}{(2x+7)(x-3)(x+3)}=0.$$

$$13+x-3-12x-42=0,$$

$$-11x-32=0,$$

$$x=-\frac{32}{11}.$$

Проверим ОДЗ: $$x\neq -\frac72,\; x\neq 3,\; x\neq -3.$$ Значение $$x=-\frac{32}{11}$$ подходит.

2) $$\frac{x}{x-2}+\frac{x+2}{x+4}=\frac{12}{x^2+2x-8}.$$

Разложим знаменатель:

$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$

Тогда

$$\frac{x}{x-2}+\frac{x+2}{x+4}-\frac{12}{(x+4)(x-2)}=0.$$

Умножим на $$(x-2)(x+4)$$:

$$x(x+4)+(x+2)(x-2)-12=0.$$

$$x^2+4x+x^2-4-12=0,$$

$$2x^2+4x-16=0,$$

$$x^2+2x-8=0,$$

$$(x+4)(x-2)=0.$$

Получаем $$x=-4$$ или $$x=2$$, но оба значения не входят в ОДЗ: $$x\neq -4,\; x\neq 2.$$

Следовательно, корней нет.

3) $$\frac{2}{x+3}+\frac{x^2+5}{x^3+27}=\frac{5x}{x^2-3x+9}.$$

Так как $$x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9),$$ получаем

$$\frac{2}{x+3}+\frac{x^2+5}{(x+3)(x^2-3x+9)}-\frac{5x}{x^2-3x+9}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(x^2-3x+9)+(x^2+5)-5x(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}=0.$$

$$2x^2-6x+18+x^2+5-5x^2-15x=0,$$

$$-2x^2-21x+23=0,$$

$$2x^2+21x-23=0.$$

Найдём корни:

$$D=21^2-4\cdot 2\cdot(-23)=441+184=625,$$

$$\sqrt{D}=25.$$

$$x=\frac{-21\pm 25}{4}.$$

$$x_1=-\frac{46}{4}=-\frac{23}{2}, \qquad x_2=\frac{4}{4}=1.$$

Проверка ОДЗ: $$x\neq -3.$$ Оба корня подходят.

Ответ: 1) $$x=-\frac{32}{11}$$; 2) корней нет; 3) $$x=-\frac{23}{2},\; x=1$$.