Задание 8 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 13/(2x^2+x-21)+1/(2x+7)=6/(x^2-9);
2) x/(x-2)+(x+2)/(x+4)=12/(x^2+2x-8);
3) 2/(x+3)+(x^2+5)/(x^3+27)=5x/(x^2-3x+9).

Подробный ответ

$$\frac{13}{2x^2+x-21}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{x^2-9}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$2x^2+x-21=(2x+7)(x-3), \qquad x^2-9=(x-3)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{13}{(2x+7)(x-3)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{(x-3)(x+3)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{13}{(2x+7)(x-3)}+\frac{x-3}{(2x+7)(x-3)}-\frac{6(2x+7)}{(2x+7)(x-3)(x+3)}=0.$$
После преобразований получаем:
$$\frac{x^2+x-12}{(2x+7)(x^2-9)}=0.$$
Следовательно,
$$x^2+x-12=0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x-3\right)=0.$$
Отсюда $$x=-4$$ или $$x=3$$. Но $$x=3$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель.
$$\frac{x}{x-2}+\frac{x+2}{x+4}=\frac{12}{x^2+2x-8}$$
Разложим знаменатель:
$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$
Тогда
$$\frac{x}{x-2}+\frac{x+2}{x+4}=\frac{12}{(x+4)(x-2)}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x+4)+(x+2)(x-2)-12}{(x-2)(x+4)}=0.$$
Числитель равен
$$x^2+4x+x^2-4-12=2x^2+4x-16.$$
Получаем уравнение
$$2x^2+4x-16=0,$$
$$x^2+2x-8=0,$$
$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0.$$
Корни $$x=-4$$ и $$x=2$$ не подходят, так как обращают в нуль знаменатель. Значит, решений нет.
$$\frac{2}{x+3}+\frac{x^2+5}{x^3+27}=\frac{5x}{x^2-3x+9}$$
Разложим знаменатель:
$$x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9).$$
Тогда
$$\frac{2}{x+3}+\frac{x^2+5}{(x+3)(x^2-3x+9)}-\frac{5x}{x^2-3x+9}=0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2(x^2-3x+9)+x^2+5-5x(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}=0.$$
Числитель преобразуем:
$$2x^2-6x+18+x^2+5-5x^2-15x=-2x^2-21x+23.$$
Получаем:
$$-2x^2-21x+23=0,$$
$$2x^2+21x-23=0.$$
Найдём корни:
$$D=21^2-4\cdot 2\cdot(-23)=441+184=625,$$
$$\sqrt{D}=25.$$
$$x=\frac{-21\pm 25}{4}.$$
Тогда
$$x_1=-\frac{46}{4}=-\frac{23}{2}, \qquad x_2=\frac{4}{4}=1.$$
Оба значения удовлетворяют области допустимых значений.