Задание 8 Параграф 22 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\frac{4a^2-25}{3a^2-10a+3}\cdot\frac{a-3}{2a+5}+\frac{1-16a}{1-3a}$$
2. $$\left(\frac{c}{c+6}+\frac{1}{c-2}-\frac{8}{c^2+4c-12}\right):\frac{c^2+6c+5}{c+6}$$

1) $$\frac{4a^2-25}{3a^2-10a+3}\cdot\frac{a-3}{2a+5}+\frac{1-16a}{1-3a}$$

Разложим на множители:

$$4a^2-25=(2a-5)(2a+5),$$

$$3a^2-10a+3=(3a-1)(a-3),$$

$$1-16a=-(16a-1), \qquad 1-3a=-(3a-1).$$

Тогда

$$\frac{(2a-5)(2a+5)}{(3a-1)(a-3)}\cdot\frac{a-3}{2a+5}+\frac{1-16a}{1-3a} =\frac{2a-5}{3a-1}+\frac{16a-1}{3a-1}.$$

Сложим дроби:

$$\frac{2a-5+16a-1}{3a-1}=\frac{18a-6}{3a-1}=\frac{6(3a-1)}{3a-1}=6.$$

2) $$\left(\frac{c}{c+6}+\frac{1}{c-2}-\frac{8}{c^2+4c-12}\right):\frac{c^2+6c+5}{c+6}$$

Разложим квадратные трёхчлены на множители:

$$c^2+4c-12=(c+6)(c-2), \qquad c^2+6c+5=(c+5)(c+1).$$

Тогда

$$\frac{c}{c+6}+\frac{1}{c-2}-\frac{8}{(c+6)(c-2)} =\frac{c(c-2)+(c+6)-8}{(c+6)(c-2)}$$

$$=\frac{c^2-c-2}{(c+6)(c-2)} =\frac{(c-2)(c+1)}{(c+6)(c-2)} =\frac{c+1}{c+6}.$$

Деление на дробь заменим умножением на обратную:

$$\frac{c+1}{c+6}:\frac{(c+5)(c+1)}{c+6} =\frac{c+1}{c+6}\cdot\frac{c+6}{(c+5)(c+1)} =\frac{1}{c+5}.$$

Ответ: 1) $$6$$; 2) $$\frac{1}{c+5}$$.