Задание 8 Параграф 20 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$(x^2-25)^2+(x^2+2x-15)^2=0$$;
   2) $$(x^2+4x-12)^2+(x^2+x-6)^2=0$$.

1) Рассмотрим уравнение $$\left(x^2-25\right)^2+\left(x^2+2x-15\right)^2=0.$$

Левая часть — сумма двух квадратов, а каждый квадрат неотрицателен. Поэтому сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$$\begin{cases} x^2-25=0,\\ x^2+2x-15=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем:

$$x^2=25,\quad x=\pm 5.$$

Проверим эти значения во втором уравнении:

$$5^2+2\cdot 5-15=25+10-15=20\ne 0,$$

$$(-5)^2+2\cdot(-5)-15=25-10-15=0.$$

Подходит только $$x=-5.$$

2) Рассмотрим уравнение $$\left(x^2+4x-12\right)^2+\left(x^2+x-6\right)^2=0.$$

Аналогично, сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

$$\begin{cases} x^2+4x-12=0,\\ x^2+x-6=0. \end{cases}$$

Решим первое уравнение:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2},\quad x_1=-6,\; x_2=2.$$

Решим второе уравнение:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2},\quad x_1=-3,\; x_2=2.$$

Общее решение системы: $$x=2.$$

Ответ

1) $$x=-5$$; 2) $$x=2$$.