Задание 7 Параграф 3 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 7. Верно ли утверждение: при всех допустимых значениях переменной выражение (a^2+40)/(a-7)^4 -(8a+4)/(7-a)^4 +(13-6a)/(a-7)^4 принимает положительные значения?

Так как $$7-a=-(a-7),$$ то

$$ (7-a)^4=(a-7)^4. $$

Тогда выражение можно привести к общему знаменателю:

$$ \frac{a^2+40}{(a-7)^4}-\frac{8a+4}{(7-a)^4}+\frac{13-6a}{(a-7)^4} = \frac{a^2+40-(8a+4)+13-6a}{(a-7)^4}. $$

Упростим числитель:

$$ a^2+40-8a-4+13-6a=a^2-14a+49=(a-7)^2. $$

Получаем:

$$ \frac{(a-7)^2}{(a-7)^4}=\frac{1}{(a-7)^2}. $$

При всех допустимых значениях переменной $$a\neq 7$$ знаменатель положителен, значит

$$ \frac{1}{(a-7)^2}>0. $$

Следовательно, утверждение верно.

Ответ

Верно.