Задание 7 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения: 1) $$\frac{x}{x-6}+\frac{x-1}{x+6}=\frac{54-5x}{x^2-36}$$; 2) $$\frac{4x-3}{x}-\frac{1}{x-1}=\frac{2x+3}{x^2-x}$$; 3) $$\frac{8}{x^2+4x}-\frac{32}{x^2-4x}=\frac{1}{x}$$; 4) $$\frac{2x+3}{x^2-4x+4}-\frac{x-1}{x^2-2x}=\frac{5}{x}$$; 5) $$\frac{1}{x^2-6x+9}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{1}{x+3}=0$$.

1) Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x-6}+\frac{x-1}{x+6}-\frac{54-5x}{x^2-36}=0$$

$$\frac{x(x+6)+(x-1)(x-6)-(54-5x)}{(x-6)(x+6)}=0$$

$$x^2+6x+x^2-7x+6-54+5x=0$$

$$2x^2+4x-48=0$$

$$x^2+2x-24=0$$

$$(x+6)(x-4)=0$$

$$x=-6 \text{ или } x=4$$

Но $$x=-6$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит, $$x=4$$.

2) Область допустимых значений: $$x\ne 0,$$ $$x\ne 1.$$

$$\frac{4x-3}{x}-\frac{1}{x-1}-\frac{2x+3}{x^2-x}=0$$

$$\frac{(4x-3)(x-1)-x-(2x+3)}{x(x-1)}=0$$

$$4x^2-4x-3x+3-x-2x-3=0$$

$$4x^2-10x=0$$

$$x(4x-10)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=2{,}5$$

Значение $$x=0$$ не подходит по ОДЗ. Следовательно, $$x=2{,}5$$.

3) Область допустимых значений: $$x\ne 0,$$ $$x\ne 4,$$ $$x\ne -4.$$

$$\frac{8}{x^2+4x}-\frac{32}{x^2-4x}=\frac{1}{x}$$

$$\frac{8}{x(x+4)}-\frac{32}{x(x-4)}-\frac{1}{x}=0$$

$$\frac{8(x-4)-32(x+4)-(x-4)(x+4)}{x(x-4)(x+4)}=0$$

$$8x-32-32x-128-x^2+16=0$$

$$-x^2-24x-144=0$$

$$(x+12)^2=0$$

$$x=-12$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

4) Область допустимых значений: $$x\ne 0,$$ $$x\ne 2.$$

$$\frac{2x+3}{x^2-4x+4}-\frac{x-1}{x^2-2x}=\frac{5}{x}$$

$$\frac{2x+3}{(x-2)^2}-\frac{x-1}{x(x-2)}-\frac{5}{x}=0$$

$$\frac{x(2x+3)-(x-1)(x-2)-5(x-2)^2}{x(x-2)^2}=0$$

$$2x^2+3x-(x^2-3x+2)-5(x^2-4x+4)=0$$

$$-4x^2+26x-22=0$$

$$2x^2-13x+11=0$$

$$D=13^2-4\cdot 2\cdot 11=81$$

$$x=\frac{13\pm 9}{4}$$

$$x_1=1,\quad x_2=\frac{11}{2}$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

5) Область допустимых значений: $$x\ne 3,$$ $$x\ne -3.$$

$$\frac{1}{x^2-6x+9}+\frac{6}{x^2-9}+\frac{1}{x+3}=0$$

$$\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{6}{(x-3)(x+3)}+\frac{1}{x+3}=0$$

$$\frac{x+3+6(x-3)+(x-3)^2}{(x-3)^2(x+3)}=0$$

$$x+3+6x-18+x^2-6x+9=0$$

$$x^2+x-6=0$$

$$(x+3)(x-2)=0$$

$$x=-3 \text{ или } x=2$$

Значение $$x=-3$$ не подходит по ОДЗ. Значит, $$x=2$$.

Ответ

1) $$x=4$$; 2) $$x=2{,}5$$; 3) $$x=-12$$; 4) $$x=1,\; x=\frac{11}{2}$$; 5) $$x=2$$.