Задание 5 Параграф 7 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\frac{x-3}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{x^2-x-6}{x^2-4}$$;
   2) $$\frac{2x^2+21}{9-x^2}+\frac{x+3}{x-3}=\frac{4}{x+3}$$;
   3) $$\frac{y-5}{y+5}=\frac{y+5}{y-5}+\frac{100}{25-y^2}$$;
   4) $$\frac{x+1}{x-6}+\frac{x-6}{x}=\frac{x^2-11x+72}{x^2-6x}$$.

1) Область допустимых значений: $$x \ne 2,\; x \ne -2.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{x-3}{x-2}+\frac{x}{x+2}-\frac{x^2-x-6}{x^2-4}=0.$$

Приведём к общему знаменателю $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$:

$$\frac{(x-3)(x+2)+x(x-2)-(x^2-x-6)}{x^2-4}=0.$$

Числитель упростим:

$$(x-3)(x+2)+x(x-2)-(x^2-x-6) = x^2-x-6+x^2-2x-x^2+x+6 = x^2-2x.$$

Тогда

$$\frac{x^2-2x}{x^2-4}=0,$$

откуда

$$x^2-2x=0 \quad \Rightarrow \quad x(x-2)=0.$$

Получаем $$x=0$$ или $$x=2$$, но $$x=2$$ не подходит по ОДЗ. Значит, $$x=0$$.

2) Область допустимых значений: $$x \ne 3,\; x \ne -3.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{2x^2+21}{9-x^2}+\frac{x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=0.$$

Так как $$9-x^2=(3-x)(3+x),$$ получаем

$$\frac{2x^2+21}{(3-x)(3+x)}-\frac{x+3}{3-x}-\frac{4}{3+x}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2x^2+21-(x+3)(x+3)-4(3-x)}{(3-x)(3+x)}=0.$$

Упростим числитель:

$$2x^2+21-(x^2+6x+9)-12+4x = x^2-2x.$$

Тогда

$$\frac{x^2-2x}{(3-x)(3+x)}=0,$$

откуда

$$x(x-2)=0.$$

Получаем $$x=0$$ или $$x=2$$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

3) Область допустимых значений: $$y \ne 5,\; y \ne -5.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{y-5}{y+5}-\frac{y+5}{y-5}-\frac{100}{25-y^2}=0.$$

Так как $$25-y^2=(5-y)(5+y)=-(y-5)(y+5),$$ то

$$-\frac{100}{25-y^2}=\frac{100}{(y-5)(y+5)}.$$

Тогда

$$\frac{y-5}{y+5}-\frac{y+5}{y-5}+\frac{100}{(y-5)(y+5)}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(y-5)^2-(y+5)^2+100}{(y-5)(y+5)}=0.$$

Числитель:

$$(y-5)^2-(y+5)^2+100 = (y^2-10y+25)-(y^2+10y+25)+100 = -20y+100.$$

Получаем

$$\frac{-20y+100}{(y-5)(y+5)}=0,$$

значит,

$$-20y+100=0 \quad \Rightarrow \quad y=5.$$

Но $$y=5$$ не входит в ОДЗ. Следовательно, корней нет.

4) Область допустимых значений: $$x \ne 0,\; x \ne 6.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{x+1}{x-6}+\frac{x-6}{x}-\frac{x^2-11x+72}{x^2-6x}=0.$$

Так как $$x^2-6x=x(x-6),$$ приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x(x+1)+(x-6)^2-(x^2-11x+72)}{x(x-6)}=0.$$

Упростим числитель:

$$x(x+1)+(x-6)^2-(x^2-11x+72) = x^2+x+x^2-12x+36-x^2+11x-72 = x^2-36.$$

Тогда

$$\frac{x^2-36}{x(x-6)}=0,$$

откуда

$$x^2-36=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 6.$$

Значение $$x=6$$ не подходит по ОДЗ, значит остаётся $$x=-6$$.

Ответ

1) $$x=0$$; 2) $$x=0,\; 2$$; 3) корней нет; 4) $$x=-6$$.