Задание 5 Параграф 7 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (x-3)/(x-2)+x/(x+2)=(x^2-x-6)/(x^2-4);
2) (2x^2+21)/(9-x^2 )+(x+3)/(x-3)=4/(x+3);
3) (y-5)/(y+5)=(y+5)/(y-5)+100/(25-y^2 );
4) (x+1)/(x-6)+(x-6)/x=(x^2-11x+72)/(x^2-6x).

1. $$\frac{x-3}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{x^2-x-6}{x^2-4}$$

   ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq -2.$$

   Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x-3}{x-2}+\frac{x}{x+2}-\frac{x^2-x-6}{x^2-4}=0$$
   $$ \frac{(x-3)(x+2)+x(x-2)-x^2+x+6}{x^2-4}=0 $$
   $$ \frac{x^2-2x}{x^2-4}=0 $$

   Числитель равен нулю:

   $$x^2-2x=0$$
   $$x(x-2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=2.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=0.$$

2. $$\frac{2x^2+21}{9-x^2}+\frac{x+3}{x-3}=\frac{4}{x+3}$$

   ОДЗ: $$x\neq 3,\; x\neq -3.$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\frac{2x^2+21}{9-x^2}+\frac{x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=0$$

   Так как $$9-x^2=(3-x)(3+x),$$ получаем:

   $$ -\frac{2x^2+21}{(3-x)(3+x)}-\frac{x+3}{3-x}-\frac{4}{3+x}=0 $$
   $$ \frac{2x^2+21-(x+3)(x+3)-4(3-x)}{(3-x)(3+x)}=0 $$
   $$ \frac{x^2-2x}{(3-x)(3+x)}=0 $$

   Числитель равен нулю:

   $$x^2-2x=0$$
   $$x(x-2)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=2.$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

3. $$\frac{y-5}{y+5}=\frac{y+5}{y-5}+\frac{100}{25-y^2}$$

   ОДЗ: $$y\neq 5,\; y\neq -5.$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\frac{y-5}{y+5}-\frac{y+5}{y-5}-\frac{100}{25-y^2}=0$$

   Так как $$25-y^2=(5-y)(5+y)=-(y-5)(y+5),$$ то

   $$ \frac{y-5}{y+5}-\frac{y+5}{y-5}+\frac{100}{(y-5)(y+5)}=0 $$
   $$ \frac{(y-5)^2-(y+5)^2+100}{(y-5)(y+5)}=0 $$
   $$ \frac{y^2-10y+25-y^2-10y-25+100}{(y-5)(y+5)}=0 $$
   $$ \frac{-20y+100}{(y-5)(y+5)}=0 $$
   $$-20y+100=0$$
   $$y=5.$$

   Но $$y=5$$ не входит в ОДЗ, значит корней нет.

4. $$\frac{x+1}{x-6}+\frac{x-6}{x}=\frac{x^2-11x+72}{x^2-6x}$$

   ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 6.$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\frac{x+1}{x-6}+\frac{x-6}{x}-\frac{x^2-11x+72}{x(x-6)}=0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{x(x+1)+(x-6)^2-(x^2-11x+72)}{x(x-6)}=0 $$
   $$ \frac{x^2+x+x^2-12x+36-x^2+11x-72}{x(x-6)}=0 $$
   $$ \frac{x^2-36}{x(x-6)}=0 $$
   $$x^2-36=0$$
   $$ (x-6)(x+6)=0 $$
   $$x=6 \text{ или } x=-6.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=-6.$$

Ответ

1) $$x=0$$; 2) $$x=0,\; 2$$; 3) корней нет; 4) $$x=-6$$.