Задание 5 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение: 1) $$\frac{3x^2+5x-2}{x^2-4}=0$$; 2) $$\frac{x^2-3x-70}{x^2+6x-7}=0$$.

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{3x^2+5x-2}{x^2-4}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\begin{cases} 3x^2+5x-2=0,\\ x^2-4\ne 0. \end{cases}$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49.$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2\cdot 3}.$$

$$x_1=\frac{-5-7}{6}=-2,\qquad x_2=\frac{-5+7}{6}=\frac13.$$

Проверим ОДЗ: $$x^2-4\ne 0 \Rightarrow x\ne -2,\; x\ne 2.$$

Значит, $$x=-2$$ не подходит, а $$x=\frac13$$ подходит.

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2-3x-70}{x^2+6x-7}=0.$$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\begin{cases} x^2-3x-70=0,\\ x^2+6x-7\ne 0. \end{cases}$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2-3x-70=(x-10)(x+7)=0.$$

Отсюда

$$x_1=10,\qquad x_2=-7.$$

Проверим знаменатель:

$$x^2+6x-7=(x+7)(x-1)\ne 0,$$

значит, $$x\ne -7$$ и $$x\ne 1.$$

Число $$-7$$ не подходит, а $$10$$ подходит.

Ответ: 1) $$x=\frac13$$; 2) $$x=10$$.