Задание 4 Параграф 24 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Лодка проплыла $$12\ \text{км}$$ против течения реки и $$15\ \text{км}$$ по течению, затратив на путь по течению на $$15\ \text{мин}$$ меньше, чем на путь против течения. Скорость течения составляет $$2\ \text{км/ч}$$. Найдите скорость лодки по течению.

Пусть собственная скорость лодки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость по течению равна $$x+2$$ км/ч, а против течения — $$x-2$$ км/ч.

По условию лодка проплыла $$12$$ км против течения и $$15$$ км по течению. Время движения составило соответственно

$$\frac{12}{x-2} \text{ ч} \quad \text{и} \quad \frac{15}{x+2} \text{ ч}.$$

Так как по течению лодка затратила на $$15$$ мин меньше, чем против течения, получаем $$15$$ мин $$=\frac{1}{4}$$ ч. Составим уравнение:

$$\frac{12}{x-2}-\frac{15}{x+2}=\frac{1}{4}.$$

Умножим обе части на $$4(x-2)(x+2)$$:

$$48(x+2)-60(x-2)=(x-2)(x+2)$$

$$48x+96-60x+120=x^2-4$$

$$-x^2-12x+220=0$$

$$x^2+12x-220=0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2-4\cdot 1\cdot(-220)=144+880=1024,$$

$$\sqrt{D}=32.$$

$$x_1=\frac{-12-32}{2}=-22,\qquad x_2=\frac{-12+32}{2}=10.$$

Так как скорость должна быть положительной и $$x>2$$, подходит только $$x=10$$ км/ч.

Тогда скорость лодки по течению:

$$x+2=10+2=12 \text{ км/ч}.$$

Ответ: $$12$$ км/ч.