Задание 4 Параграф 21 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) $$-6$$ и $$0{,}2$$; 2) $$\frac{2}{7}$$ и $$\frac{3}{4}$$; 3) $$6-\sqrt{3}$$ и $$6+\sqrt{3}$$.

1. Пусть $$x_1=-6,\quad x_2=0{,}2.$$ Тогда

   $$x_1+x_2=-6+0{,}2=-5{,}8,$$

   $$x_1x_2=-6\cdot 0{,}2=-1{,}2.$$

   По теореме, обратной теореме Виета, получаем уравнение

   $$x^2+5{,}8x-1{,}2=0.$$

   Умножим обе части на $$5$$:

   $$5x^2+29x-6=0.$$

2. Пусть $$x_1=\frac{2}{7},\quad x_2=\frac{3}{4}.$$ Тогда

   $$x_1+x_2=\frac{2}{7}+\frac{3}{4}=\frac{8+21}{28}=\frac{29}{28},$$

   $$x_1x_2=\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{28}.$$

   Следовательно, искомое уравнение:

   $$x^2-\frac{29}{28}x+\frac{6}{28}=0.$$

   Умножим обе части на $$28$$:

   $$28x^2-29x+6=0.$$

3. Пусть $$x_1=6-\sqrt{3},\quad x_2=6+\sqrt{3}.$$ Тогда

   $$x_1+x_2=6-\sqrt{3}+6+\sqrt{3}=12,$$

   $$x_1x_2=(6-\sqrt{3})(6+\sqrt{3})=36-3=33.$$

   По теореме Виета получаем уравнение

   $$x^2-12x+33=0.$$

Ответ

1) $$5x^2+29x-6=0$$; 2) $$28x^2-29x+6=0$$; 3) $$x^2-12x+33=0$$.