Задание 3 Параграф 6 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. а) $$\left(\frac{a+6b}{a^2-6ab}-\frac{1}{a}\right):\frac{b}{6b-a}$$;
   б) $$(a^3-81a)\cdot\left(\frac{1}{a+9}-\frac{1}{a-9}\right)$$.

1) $$\left(\frac{a+6b}{a^2-6ab}-\frac{1}{a}\right):\frac{b}{6b-a}$$

Разложим знаменатель на множители: $$a^2-6ab=a(a-6b).$$ Тогда

$$\left(\frac{a+6b}{a(a-6b)}-\frac{1}{a}\right):\frac{b}{6b-a}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a+6b-(a-6b)}{a(a-6b)}:\frac{b}{6b-a}=\frac{12b}{a(a-6b)}:\frac{b}{6b-a}.$$

Деление заменим умножением на обратную дробь:

$$\frac{12b}{a(a-6b)}\cdot\frac{6b-a}{b}.$$

Так как $$6b-a=-(a-6b),$$ получаем

$$\frac{12b}{a(a-6b)}\cdot\frac{-(a-6b)}{b}=-\frac{12}{a}.$$

2) $$\left(a^3-81a\right)\cdot\left(\frac{1}{a+9}-\frac{1}{a-9}\right)$$

Вынесем общий множитель и преобразуем разность дробей:

$$a^3-81a=a(a^2-81)=a(a-9)(a+9),$$

$$\frac{1}{a+9}-\frac{1}{a-9}=\frac{a-9-(a+9)}{(a+9)(a-9)}=\frac{-18}{a^2-81}.$$

Тогда

$$a(a^2-81)\cdot\frac{-18}{a^2-81}=-18a.$$

Ответ: 1) $$-\frac{12}{a}$$; 2) $$-18a$$.