Задание 3 Параграф 23 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\frac{x^2-4x}{x-9}=\frac{2x+27}{x-9}$$;
   2) $$\frac{x^2+x}{x+5}=\frac{15-x}{x+5}$$;
   3) $$\frac{5x^2-x-2}{x-2}-\frac{3x^2-4x+12}{x-2}=0$$;
   4) $$\frac{8x^2-3x}{2x-1}-\frac{3x-1}{2x-1}=0$$;
   5) $$\frac{8x+2}{x+3}=3x$$;
   6) $$\frac{16}{x^2}-5=\frac{11}{x}$$.

1) $$\frac{x^2-4x}{x-9}=\frac{2x+27}{x-9}$$

ОДЗ: $$x\ne 9.$$

Умножим обе части на $$x-9$$:

$$x^2-4x=2x+27$$

$$x^2-6x-27=0$$

$$D=36+108=144,\quad \sqrt{D}=12$$

$$x=\frac{6\pm 12}{2}$$

$$x_1=9,\quad x_2=-3.$$

Число $$x=9$$ не подходит, так как не входит в ОДЗ.

$$x=-3.$$

2) $$\frac{x^2+x}{x+5}=\frac{15-x}{x+5}$$

ОДЗ: $$x\ne -5.$$

Умножим обе части на $$x+5$$:

$$x^2+x=15-x$$

$$x^2+2x-15=0$$

$$D=4+60=64,\quad \sqrt{D}=8$$

$$x=\frac{-2\pm 8}{2}$$

$$x_1=-5,\quad x_2=3.$$

Число $$x=-5$$ не подходит.

$$x=3.$$

3) $$\frac{5x^2-x-2}{x-2}-\frac{3x^2-4x+12}{x-2}=0$$

ОДЗ: $$x\ne 2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{5x^2-x-2-(3x^2-4x+12)}{x-2}=0$$

$$\frac{2x^2+3x-14}{x-2}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

$$2x^2+3x-14=0$$

$$D=9+112=121,\quad \sqrt{D}=11$$

$$x=\frac{-3\pm 11}{4}$$

$$x_1=-\frac{7}{2},\quad x_2=2.$$

Число $$x=2$$ не подходит.

$$x=-\frac{7}{2}.$$

4) $$\frac{8x^2-3x}{2x-1}-\frac{3x-1}{2x-1}=0$$

ОДЗ: $$x\ne \frac12.$$

$$\frac{8x^2-3x-(3x-1)}{2x-1}=0$$

$$\frac{8x^2-6x+1}{2x-1}=0$$

Тогда

$$8x^2-6x+1=0$$

$$D=36-32=4,\quad \sqrt{D}=2$$

$$x=\frac{6\pm 2}{16}$$

$$x_1=\frac14,\quad x_2=\frac12.$$

Число $$x=\frac12$$ не подходит.

$$x=\frac14.$$

5) $$\frac{8x+2}{x+3}=3x$$

ОДЗ: $$x\ne -3.$$

$$8x+2=3x(x+3)$$

$$8x+2=3x^2+9x$$

$$3x^2+x-2=0$$

$$D=1+24=25,\quad \sqrt{D}=5$$

$$x=\frac{-1\pm 5}{6}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac23.$$

Оба корня подходят.

$$x=-1,\ \frac23.$$

6) $$\frac{16}{x^2}-5=\frac{11}{x}$$

ОДЗ: $$x\ne 0.$$

Умножим на $$x^2$$:

$$16-5x^2=11x$$

$$5x^2+11x-16=0$$

$$D=121+320=441,\quad \sqrt{D}=21$$

$$x=\frac{-11\pm 21}{10}$$

$$x_1=-\frac{16}{10}=-\frac85,\quad x_2=1.$$

Оба корня подходят.

$$x=-\frac85,\ 1.$$

Ответ

1) $$x=-3$$; 2) $$x=3$$; 3) $$x=-\frac72$$; 4) $$x=\frac14$$; 5) $$x=-1,\ \frac23$$; 6) $$x=-\frac85,\ 1$$.