Задание 24 Параграф 9 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения не зависит от значения $$n$$ (целое число):
   
   1) $$\frac{7^{2n+1}}{49^n}$$;
   
   2) $$\frac{3^{n-1}\cdot5^{n+2}}{15^n}$$;
   
   3) $$\frac{39^{n+1}}{3^{n-2}\cdot13^n}$$;
   
   4) $$\frac{9^{n+1}-9^{n-2}}{3^{2n}}$$;
   
   5) $$\frac{5^{n+3}-5^{n-1}}{6\cdot5^{n+1}}$$.

1) $$\frac{7^{2n+1}}{49^n}=\frac{7^{2n+1}}{(7^2)^n}=\frac{7^{2n+1}}{7^{2n}}=7^{2n+1-2n}=7.$$

2) $$\frac{3^{n-1}\cdot 5^{n+2}}{15^n}=\frac{3^{n-1}\cdot 5^{n+2}}{(3\cdot 5)^n}=\frac{3^{n-1}\cdot 5^{n+2}}{3^n\cdot 5^n}=3^{-1}\cdot 5^2=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}.$$

3) $$\frac{39^{n+1}}{3^{n-2}\cdot 13^n}=\frac{(3\cdot 13)^{n+1}}{3^{n-2}\cdot 13^n}=\frac{3^{n+1}\cdot 13^{n+1}}{3^{n-2}\cdot 13^n}=3^{(n+1)-(n-2)}\cdot 13=3^3\cdot 13=351.$$

4) $$\frac{9^{n+1}-9^{n-2}}{3^{2n}}=\frac{9^{n-2}(9^3-1)}{(3^2)^n}=\frac{9^{n-2}(729-1)}{9^n}=\frac{9^{n-2}\cdot 728}{9^n}=9^{-2}\cdot 728=\frac{728}{81}=8\frac{80}{81}.$$

5) $$\frac{5^{n+3}-5^{n-1}}{6\cdot 5^{n+1}}=\frac{5^{n-1}(5^4-1)}{6\cdot 5^{n-1}\cdot 5^2}=\frac{5^{n-1}\cdot 624}{6\cdot 5^{n-1}\cdot 25}=\frac{624}{150}=\frac{104}{25}=4\frac{4}{25}.$$

Ответ: 1) $$7$$; 2) $$\frac{25}{3}$$; 3) $$351$$; 4) $$\frac{728}{81}$$; 5) $$\frac{104}{25}$$.