Задание 23 Параграф 18 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 3+v5 и v8+v6;
2) 2+v11 и v5+v10.

1. Сравним числа $$3+\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{8}+\sqrt{6}$$.

   Возведём их в квадрат:

   $$ (3+\sqrt{5})^2=9+6\sqrt{5}+5=14+6\sqrt{5}, $$
   $$ (\sqrt{8}+\sqrt{6})^2=8+2\sqrt{8\cdot 6}+6=14+2\sqrt{48}. $$

   Сравним $$6\sqrt{5}$$ и $$2\sqrt{48}$$:

   $$ 6\sqrt{5}=\sqrt{36\cdot 5}=\sqrt{180}, \qquad 2\sqrt{48}=\sqrt{4\cdot 48}=\sqrt{192}. $$

   Так как $$\sqrt{180}<\sqrt{192}$$, то $$6\sqrt{5}<2\sqrt{48}$$.

   Следовательно,

   $$ (3+\sqrt{5})^2<(\sqrt{8}+\sqrt{6})^2. $$

   Оба числа положительны, значит:

   $$ 3+\sqrt{5}<\sqrt{8}+\sqrt{6}. $$

2. Сравним числа $$2+\sqrt{11}$$ и $$\sqrt{5}+\sqrt{10}$$.

   Возведём их в квадрат:

   $$ (2+\sqrt{11})^2=4+4\sqrt{11}+11=15+4\sqrt{11}, $$
   $$ (\sqrt{5}+\sqrt{10})^2=5+2\sqrt{50}+10=15+2\sqrt{50}. $$

   Сравним $$4\sqrt{11}$$ и $$2\sqrt{50}$$:

   $$ 4\sqrt{11}=\sqrt{16\cdot 11}=\sqrt{176}, \qquad 2\sqrt{50}=\sqrt{4\cdot 50}=\sqrt{200}. $$

   Так как $$\sqrt{176}<\sqrt{200}$$, то $$4\sqrt{11}<2\sqrt{50}$$.

   Следовательно,

   $$ (2+\sqrt{11})^2<(\sqrt{5}+\sqrt{10})^2. $$

   Оба числа положительны, значит:

   $$ 2+\sqrt{11}<\sqrt{5}+\sqrt{10}. $$

Ответ

1) $$3+\sqrt{5}<\sqrt{8}+\sqrt{6}$$;
2) $$2+\sqrt{11}<\sqrt{5}+\sqrt{10}$$.