Задание 23 Параграф 18 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
- Сравните числа: 1) $$3+\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{8}+\sqrt{6}$$; 2) $$2+\sqrt{11}$$ и $$\sqrt{5}+\sqrt{10}$$.
1) Сравним числа $$3+\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{8}+\sqrt{6}.$$
Возведём их в квадрат:
$$(3+\sqrt{5})^2=9+6\sqrt{5}+5=14+6\sqrt{5},$$
$$(\sqrt{8}+\sqrt{6})^2=8+2\sqrt{8\cdot 6}+6=14+2\sqrt{48}.$$
Сравним $$6\sqrt{5}$$ и $$2\sqrt{48}:$$
$$6\sqrt{5}=\sqrt{36\cdot 5}=\sqrt{180}, \qquad 2\sqrt{48}=\sqrt{4\cdot 48}=\sqrt{192}.$$
Так как $$\sqrt{180}<\sqrt{192},$$ то $$6\sqrt{5}<2\sqrt{48}.$$ Значит,
$$(3+\sqrt{5})^2<(\sqrt{8}+\sqrt{6})^2.$$
Оба числа положительны, поэтому
$$3+\sqrt{5}<\sqrt{8}+\sqrt{6}.$$
2) Сравним числа $$2+\sqrt{11}$$ и $$\sqrt{5}+\sqrt{10}.$$
Возведём их в квадрат:
$$(2+\sqrt{11})^2=4+4\sqrt{11}+11=15+4\sqrt{11},$$
$$(\sqrt{5}+\sqrt{10})^2=5+2\sqrt{5\cdot 10}+10=15+2\sqrt{50}.$$
Сравним $$4\sqrt{11}$$ и $$2\sqrt{50}:$$
$$4\sqrt{11}=\sqrt{16\cdot 11}=\sqrt{176}, \qquad 2\sqrt{50}=\sqrt{4\cdot 50}=\sqrt{200}.$$
Так как $$\sqrt{176}<\sqrt{200},$$ то $$4\sqrt{11}<2\sqrt{50}.$$ Следовательно,
$$(2+\sqrt{11})^2<(\sqrt{5}+\sqrt{10})^2.$$
Оба числа положительны, значит
$$2+\sqrt{11}<\sqrt{5}+\sqrt{10}.$$
Ответ
1) $$3+\sqrt{5}<\sqrt{8}+\sqrt{6}.$$
2) $$2+\sqrt{11}<\sqrt{5}+\sqrt{10}.$$
