Задание 21 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1. $$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$;
2. $$\frac{1}{2-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$.

1) Рационализируем знаменатель, умножив дробь на сопряжённое выражение:

$$\frac{1}{1+\sqrt2+\sqrt3} = \frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{(1+\sqrt2+\sqrt3)(1+\sqrt2-\sqrt3)}$$

$$= \frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{(1+\sqrt2)^2-(\sqrt3)^2} = \frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{1+2\sqrt2+2-3} = \frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{2\sqrt2}$$

$$= \frac{\sqrt2(1+\sqrt2-\sqrt3)}{2\sqrt2\cdot\sqrt2} = \frac{\sqrt2+2-\sqrt6}{4}$$

2) Аналогично:

$$\frac{1}{2-\sqrt3+\sqrt5} = \frac{2-\sqrt3-\sqrt5}{(2-\sqrt3+\sqrt5)(2-\sqrt3-\sqrt5)}$$

$$= \frac{2-\sqrt3-\sqrt5}{(2-\sqrt3)^2-(\sqrt5)^2} = \frac{2-\sqrt3-\sqrt5}{4-4\sqrt3+3-5} = \frac{2-\sqrt3-\sqrt5}{2-4\sqrt3}$$

$$= \frac{(2-\sqrt3-\sqrt5)(2+4\sqrt3)}{(2-4\sqrt3)(2+4\sqrt3)} = \frac{4+8\sqrt3-2\sqrt3-4\cdot 3-2\sqrt5-4\sqrt{15}}{4-16\cdot 3}$$

$$= \frac{-8+6\sqrt3-2\sqrt5-4\sqrt{15}}{-44} = \frac{4-3\sqrt3+\sqrt5+2\sqrt{15}}{22}$$

Ответ

$$1)\ \frac{\sqrt2+2-\sqrt6}{4}; \qquad 2)\ \frac{4-3\sqrt3+\sqrt5+2\sqrt{15}}{22}$$