Задание 21 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 1/(1+v2+v3);
2) 1/(2-v3+v5).

1. Рационализируем знаменатель, умножив дробь на сопряжённое выражение:

   $$ \frac{1}{1+\sqrt2+\sqrt3} = \frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{(1+\sqrt2+\sqrt3)(1+\sqrt2-\sqrt3)} $$

   В знаменателе получаем разность квадратов:

   $$ (1+\sqrt2)^2-(\sqrt3)^2=1+2\sqrt2+2-3=2\sqrt2 $$

   Тогда

   $$ \frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2(1+\sqrt2-\sqrt3)}{2\sqrt2\cdot\sqrt2} = \frac{\sqrt2(1+\sqrt2-\sqrt3)}{4} $$

   $$ \frac{\sqrt2+\;2-\sqrt6}{4} $$

2. Аналогично умножим дробь на сопряжённое выражение:

   $$ \frac{1}{2-\sqrt3+\sqrt5} = \frac{2-\sqrt3-\sqrt5}{(2-\sqrt3+\sqrt5)(2-\sqrt3-\sqrt5)} $$

   Знаменатель:

   $$ (2-\sqrt3)^2-(\sqrt5)^2=4-4\sqrt3+3-5=2-4\sqrt3 $$

   Получаем:

   $$ \frac{2-\sqrt3-\sqrt5}{2-4\sqrt3} $$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $2+4\sqrt3$:

   $$ \frac{(2-\sqrt3-\sqrt5)(2+4\sqrt3)}{(2-4\sqrt3)(2+4\sqrt3)} $$

   Знаменатель:

   $$ 4-(4\sqrt3)^2=4-48=-44 $$

   Числитель:

   $$ (2-\sqrt3-\sqrt5)(2+4\sqrt3)=4+6\sqrt3-12-2\sqrt5-4\sqrt{15} $$

   $$ =-8+6\sqrt3-2\sqrt5-4\sqrt{15} $$

   Тогда

   $$ \frac{-8+6\sqrt3-2\sqrt5-4\sqrt{15}}{-44} = \frac{4-3\sqrt3+\sqrt5+2\sqrt{15}}{22} $$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt2+2-\sqrt6}{4}$$; 2) $$\frac{4-3\sqrt3+\sqrt5+2\sqrt{15}}{22}$$.