Задание 20 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 20. Докажите, что 1/(v3+v7)+1/(v7+v11)+1/(v11+v15)+?+1/(v27+v31)=(v31-v3)/4.

Преобразуем каждый дробный множитель, рационализируя знаменатель:

$$ \frac{1}{\sqrt3+\sqrt7}=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{(\sqrt3+\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt3)}=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{7-3}=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{4}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt7+\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt7}{(\sqrt7+\sqrt{11})(\sqrt{11}-\sqrt7)}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt7}{11-7}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt7}{4}, $$
$$ \frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{15-11}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{4}, $$
$$ \ldots $$
$$ \frac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{31}}=\frac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{31-27}=\frac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{4}. $$

Тогда исходная сумма равна

$$ \frac{\sqrt7-\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt7}{4}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{4}+\ldots+\frac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{4}. $$

Вынесем $$\frac14$$ за скобки:

$$ \frac{(\sqrt7-\sqrt3)+(\sqrt{11}-\sqrt7)+(\sqrt{15}-\sqrt{11})+\ldots+(\sqrt{31}-\sqrt{27})}{4}. $$

В числителе все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся:

$$ \frac{\sqrt{31}-\sqrt3}{4}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ \frac{1}{\sqrt3+\sqrt7}+\frac{1}{\sqrt7+\sqrt{11}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{31}}=\frac{\sqrt{31}-\sqrt3}{4}. $$