Задание 20 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что $$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{11}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{31}}=\frac{\sqrt{31}-\sqrt{3}}{4}.$$

Подробный ответ

$$\frac{1}{\sqrt3+\sqrt7}+\frac{1}{\sqrt7+\sqrt{11}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{31}}$$

Рационализуем знаменатель каждого слагаемого:

$$\frac{1}{\sqrt3+\sqrt7}=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{(\sqrt3+\sqrt7)(\sqrt7-\sqrt3)}=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{7-3}=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{4},$$

$$\frac{1}{\sqrt7+\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt7}{(\sqrt7+\sqrt{11})(\sqrt{11}-\sqrt7)}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt7}{11-7}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt7}{4},$$

$$\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{15-11}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{4},$$

$$\dots$$

$$\frac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{31}}=\frac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{31-27}=\frac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{4}.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt7-\sqrt3}{4}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt7}{4}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{11}}{4}+\dots+\frac{\sqrt{31}-\sqrt{27}}{4}$$

$$=\frac{\sqrt{31}-\sqrt3}{4}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{\sqrt3+\sqrt7}+\frac{1}{\sqrt7+\sqrt{11}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{15}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{31}}=\frac{\sqrt{31}-\sqrt3}{4}.$$