Задание 19 Параграф 9 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:
- $$\left(a^{-3}+2\right)\left(a^{-3}-2\right)-\left(a^{-3}+3\right)^2$$
- $$\left(c^{-2}+1\right)\left(c^{-2}-3\right)-\left(c^{-2}+1\right)^2$$
- $$\frac{a^6+a^{10}}{a^{-6}+a^{-10}}$$
- $$\frac{a^{-2}-a^{-1}+1}{a^2-a+1}$$
- $$\frac{b^2-c^2}{b^{-1}-c^{-1}}$$
- $$\frac{a^{-2}+b^{-2}}{2a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}}+\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}$$
- $$\frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}-\frac{x^{-2}}{2x^{-1}y^{-1}+x^{-2}+y^{-2}}$$
- $$\frac{a^{-4}+b^{-4}}{a^{-5}}\cdot\frac{a^{-3}}{a^{-2}b^{-4}+a^{-6}}$$
- $$\frac{m^{-1}+5n^{-1}}{n^{-2}}:\frac{m^{-2}n^{-1}+5m^{-1}n^{-2}}{mn}$$
$$\begin{aligned} (a^{-3}+2)(a^{-3}-2)-(a^{-3}+3)^2 &= (a^{-3})^2-2^2-\bigl((a^{-3})^2+6a^{-3}+9\bigr) \\ &= a^{-6}-4-a^{-6}-6a^{-3}-9 \\ &= -6a^{-3}-13 \\ &= -\frac{6}{a^3}-13. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} (c^{-2}+1)(c^{-2}-3)-(c^{-2}+1)^2 &= (c^{-2})^2-3c^{-2}+c^{-2}-3-\bigl((c^{-2})^2+2c^{-2}+1\bigr) \\ &= c^{-4}-2c^{-2}-3-c^{-4}-2c^{-2}-1 \\ &= -4c^{-2}-4 \\ &= -\frac{4}{c^2}-4. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{a^6+a^{10}}{a^{-6}+a^{-10}} &= \frac{a^6(1+a^4)}{a^{-10}(a^4+1)} \\ &= \frac{a^6}{a^{-10}} \\ &= a^{16}. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{a^{-2}-a^{-1}+1}{a^2-a+1} &= \frac{a^{-2}(1-a+a^2)}{a^2-a+1} \\ &= a^{-2} \\ &= \frac{1}{a^2}. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{b^2-c^2}{b^{-1}-c^{-1}} &= \frac{(b-c)(b+c)}{b^{-1}c^{-1}(c-b)} \\ &= -bc(b+c). \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{a^{-2}+b^{-2}}{2a^{-2}+2a^{-1}b^{-1}}+\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}} &= \frac{a^{-2}+b^{-2}}{2a^{-1}(a^{-1}+b^{-1})}+\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}} \\ &= \frac{(a^{-1}+b^{-1})^2}{2a^{-1}(a^{-1}+b^{-1})}+\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}} \\ &= \frac{a^{-1}+b^{-1}}{2a^{-1}}+\frac{b^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}} \\ &= \frac{a+b}{2b}. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}-\frac{x^{-2}}{2x^{-1}y^{-1}+x^{-2}+y^{-2}} &= \frac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{-1}+y^{-1}}-\frac{x^{-2}}{(x^{-1}+y^{-1})^2} \\ &= \frac{(x^{-1}-y^{-1})(x^{-1}+y^{-1})-x^{-2}}{(x^{-1}+y^{-1})^2} \\ &= \frac{x^{-2}-y^{-2}-x^{-2}}{(x^{-1}+y^{-1})^2} \\ &= \frac{-y^{-2}}{(x^{-1}+y^{-1})^2} \\ &= -\frac{x^2}{(x+y)^2}. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{a^{-4}+b^{-4}}{a^{-5}}\cdot \frac{a^{-3}}{a^{-2}b^{-4}+a^{-6}} &= \frac{a^{-4}+b^{-4}}{a^{-5}}\cdot \frac{a^{-3}}{a^{-2}(b^{-4}+a^{-4})} \\ &= \frac{(a^{-4}+b^{-4})a^{-3}}{a^{-5}\cdot a^{-2}(b^{-4}+a^{-4})} \\ &= \frac{a^{-3}}{a^{-7}} \\ &= a^4. \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \frac{m^{-1}+5n^{-1}}{n^{-2}}:\frac{m^{-2}n^{-1}+5m^{-1}n^{-2}}{mn} &= \frac{m^{-1}+5n^{-1}}{n^{-2}}\cdot \frac{mn}{m^{-2}n^{-1}+5m^{-1}n^{-2}} \\ &= \frac{(m^{-1}+5n^{-1})mn}{n^{-2}\bigl(m^{-2}n^{-1}+5m^{-1}n^{-2}\bigr)} \\ &= \frac{mn}{m^{-1}n^{-3}} \\ &= m^2n^4. \end{aligned}$$
Ответ: 1) $$-\frac{6}{a^3}-13$$; 2) $$-\frac{4}{c^2}-4$$; 3) $$a^{16}$$; 4) $$\frac{1}{a^2}$$; 5) $$-bc(b+c)$$; 6) $$\frac{a+b}{2b}$$; 7) $$-\frac{x^2}{(x+y)^2}$$; 8) $$a^4$$; 9) $$m^2n^4$$.
