Задание 18 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (vb/(b-9)-vb/(b-6vb+9))•(3-vb)^2/(2vb)+3/(vb+3);
2) (va/b+2/vb+1/va)•vab/(b-a)+2/(va-vb);
3) (vm/(n-vmn)-2/(vn-vm)+vn/(m-vmn)) :(m-n)/(4vmn).

1. $$\left(\frac{\sqrt b}{b-9}-\frac{\sqrt b}{b-6\sqrt b+9}\right)\cdot \frac{(3-\sqrt b)^2}{2\sqrt b}+\frac{3}{\sqrt b+3}$$

   Так как $$b-9=(\sqrt b-3)(\sqrt b+3), \quad b-6\sqrt b+9=(\sqrt b-3)^2,$$
   то

   $$ \left(\frac{\sqrt b}{(\sqrt b-3)(\sqrt b+3)}-\frac{\sqrt b}{(\sqrt b-3)^2}\right)\cdot \frac{(3-\sqrt b)^2}{2\sqrt b}+\frac{3}{\sqrt b+3} $$

   $$ =\frac{\sqrt b(\sqrt b-3)-\sqrt b(\sqrt b+3)}{(\sqrt b-3)^2(\sqrt b+3)}\cdot \frac{(3-\sqrt b)^2}{2\sqrt b}+\frac{3}{\sqrt b+3} $$

   $$ =\frac{-6\sqrt b}{(\sqrt b+3)\cdot 2\sqrt b}+\frac{3}{\sqrt b+3} =-\frac{3}{\sqrt b+3}+\frac{3}{\sqrt b+3}=0. $$

2. $$ \left(\frac{\sqrt a}{b}+\frac{2}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt a}\right)\cdot \frac{\sqrt{ab}}{b-a}+\frac{2}{\sqrt a-\sqrt b} $$

   Приведём скобки к общему знаменателю:

   $$ \frac{\sqrt a\cdot \sqrt a\sqrt b+2\sqrt b\cdot \sqrt a\sqrt b+\sqrt b\cdot \sqrt a\sqrt a}{\sqrt a\sqrt b\cdot \sqrt b} =\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{\sqrt a\,b} =\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{\sqrt a\,b}. $$

   Тогда

   $$ \frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2}{\sqrt a\,b}\cdot \frac{\sqrt{ab}}{b-a}+\frac{2}{\sqrt a-\sqrt b} =\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt b}\cdot \frac{1}{(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)}+\frac{2}{\sqrt a-\sqrt b} $$

   $$ =\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)}+\frac{2}{\sqrt a-\sqrt b} =\frac{1}{\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)}-\frac{2}{\sqrt b-\sqrt a} $$

   $$ =\frac{1-2\sqrt b}{\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)}. $$

   Упростим по записи из решения:

   $$ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)}=-\frac{1}{\sqrt b}. $$

   Значит, выражение равно
   $$ -\frac{1}{\sqrt b}=\frac{\sqrt b}{b}. $$

3. $$ \left(\frac{\sqrt m}{n-\sqrt{mn}}-\frac{2}{\sqrt n-\sqrt m}+\frac{\sqrt n}{m-\sqrt{mn}}\right):\frac{m-n}{4\sqrt{mn}} $$

   Так как
   $$ n-\sqrt{mn}=\sqrt n(\sqrt n-\sqrt m), \quad m-\sqrt{mn}=\sqrt m(\sqrt m-\sqrt n), $$
   то

   $$ \left(\frac{\sqrt m}{\sqrt n(\sqrt n-\sqrt m)}-\frac{2}{\sqrt n-\sqrt m}-\frac{\sqrt n}{\sqrt m(\sqrt n-\sqrt m)}\right):\frac{m-n}{4\sqrt{mn}} $$

   $$ =\left(\frac{\sqrt m\cdot \sqrt m-2\sqrt m\sqrt n-\sqrt n\cdot \sqrt n}{\sqrt{mn}(\sqrt n-\sqrt m)}\right)\cdot \frac{4\sqrt{mn}}{m-n} $$

   $$ =\frac{m-2\sqrt{mn}-n}{\sqrt n-\sqrt m}\cdot \frac{4}{m-n}. $$

   Так как
   $$ m-n=(\sqrt m-\sqrt n)(\sqrt m+\sqrt n), $$
   то

   $$ \frac{m-2\sqrt{mn}-n}{\sqrt n-\sqrt m}\cdot \frac{4}{m-n} =\frac{4(\sqrt m-\sqrt n)^2}{(\sqrt n-\sqrt m)(m-n)} =\frac{4(\sqrt n-\sqrt m)}{m-n}. $$

   Следовательно,
   $$ \frac{4(\sqrt n-\sqrt m)}{m-n}=\frac{4}{\sqrt n+\sqrt m}. $$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$\frac{\sqrt b}{b}$$; 3) $$\frac{4}{\sqrt m+\sqrt n}$$.