Задание 18 Параграф 17 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\left(\frac{\sqrt{b}}{b-9}-\frac{\sqrt{b}}{b-6\sqrt{b}+9}\right)\cdot\frac{(3-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b}}+\frac{3}{\sqrt{b}+3}$$
2. $$\left(\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{\sqrt{ab}}{b-a}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$
3. $$\left(\frac{\sqrt{m}}{n-\sqrt{mn}}-\frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{n}}{m-\sqrt{mn}}\right):\frac{m-n}{4\sqrt{mn}}$$

1. $$\left(\frac{\sqrt{b}}{b-9}-\frac{\sqrt{b}}{b-6\sqrt{b}+9}\right)\cdot \frac{(3-\sqrt{b})^2}{2\sqrt{b}}+\frac{3}{\sqrt{b}+3}$$

   Разложим знаменатели:
   $$b-9=(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3), \qquad b-6\sqrt{b}+9=(\sqrt{b}-3)^2.$$

   Тогда
   $$\left(\frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)(\sqrt{b}+3)}-\frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2}\right)\cdot \frac{(\sqrt{b}-3)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{3}{\sqrt{b}+3}.$$

   Приведём к общему знаменателю в скобках:
   $$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{b}-3)-\sqrt{b}(\sqrt{b}+3)}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)}\cdot \frac{(\sqrt{b}-3)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{3}{\sqrt{b}+3}.$$

   Упростим:
   $$\frac{b-3\sqrt{b}-b-3\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)}\cdot \frac{(\sqrt{b}-3)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{3}{\sqrt{b}+3}$$
   $$=\frac{-6\sqrt{b}}{(\sqrt{b}-3)^2(\sqrt{b}+3)}\cdot \frac{(\sqrt{b}-3)^2}{2\sqrt{b}}+\frac{3}{\sqrt{b}+3}$$
   $$=-\frac{3}{\sqrt{b}+3}+\frac{3}{\sqrt{b}+3}=0.$$

2. $$\left(\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\cdot \frac{\sqrt{ab}}{b-a}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$

   Преобразуем первую скобку:
   $$\frac{\sqrt{a}}{b}+\frac{2}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}}= \frac{\sqrt{a}\sqrt{a}+2\sqrt{b}\sqrt{a}+\sqrt{b}\sqrt{b}}{\sqrt{a}\,b}= \frac{a+2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}\,b}.$$

   Тогда
   $$\left(\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}\,b}\right)\cdot \frac{\sqrt{ab}}{b-a}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$$

   Так как $$a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2,$$ а
   $$b-a=(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a}),$$
   получаем
   $$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}\,b}\cdot \frac{\sqrt{ab}}{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$$

   Сократим:
   $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})}+\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$$
   Так как
   $$\frac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=-\frac{2}{\sqrt{b}-\sqrt{a}},$$
   то
   $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})} =\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})} =-\frac{1}{\sqrt{b}}.$$

3. $$\left(\frac{\sqrt{m}}{n-\sqrt{mn}}-\frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{n}}{m-\sqrt{mn}}\right):\frac{m-n}{4\sqrt{mn}}$$

   Заменим деление умножением на обратную дробь:
   $$\left(\frac{\sqrt{m}}{n-\sqrt{mn}}-\frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{n}}{m-\sqrt{mn}}\right)\cdot \frac{4\sqrt{mn}}{m-n}.$$

   Разложим знаменатели:
   $$n-\sqrt{mn}=\sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m}), \qquad m-\sqrt{mn}=\sqrt{m}(\sqrt{m}-\sqrt{n}).$$

   Тогда
   $$\left(\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-\sqrt{m})}-\frac{2}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}(\sqrt{m}-\sqrt{n})}\right)\cdot \frac{4\sqrt{mn}}{m-n}.$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\sqrt{m}\cdot \sqrt{m}-2\sqrt{m}\sqrt{n}-\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}}{\sqrt{mn}(\sqrt{n}-\sqrt{m})}\cdot \frac{4\sqrt{mn}}{m-n}.$$
   Получаем
   $$\frac{m-2\sqrt{mn}-n}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}\cdot \frac{4}{m-n}.$$

   Так как
   $$m-2\sqrt{mn}-n=-(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2,$$
   а
   $$m-n=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n}),$$
   то после сокращения имеем
   $$\frac{4(\sqrt{n}-\sqrt{m})}{(\sqrt{n}-\sqrt{m})(m-n)}=-\frac{4}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}.$$

Ответ: 1) $$0$$; 2) $$-\frac{1}{\sqrt{b}}$$; 3) $$-\frac{4}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}$$.