Задание 16 Параграф 20 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
При каком значении $$b$$ имеет единственный корень уравнение:
- 1) $$bx^2+(b+1)x+1=0$$; 2) $$(b-2)x^2-(b+2)x-3=0$$?
1) Рассмотрим уравнение $$bx^2+(b+1)x+1=0.$$
Если $$b=0,$$ получаем линейное уравнение $$x+1=0,$$ у которого единственный корень $$x=-1.$$
Если $$b\ne 0,$$ уравнение квадратное. Оно имеет единственный корень тогда и только тогда, когда $$D=0.$$
$$D=(b+1)^2-4b=b^2+2b+1-4b=b^2-2b+1=(b-1)^2.$$
$$(b-1)^2=0 \Rightarrow b=1.$$
Ответ: $$b=0,\; b=1.$$
2) Рассмотрим уравнение $$\left(b-2\right)x^2-(b+2)x-3=0.$$
Если $$b=2,$$ получаем линейное уравнение $$-4x-3=0,$$ у которого единственный корень $$x=-\dfrac34.$$
Если $$b\ne 2,$$ уравнение квадратное. Оно имеет единственный корень тогда и только тогда, когда $$D=0.$$
$$D=-(b+2)^2-4(b-2)(-3)=(b+2)^2+12(b-2).$$
$$D=b^2+4b+4+12b-24=b^2+16b-20.$$
$$b^2+16b-20=0.$$
$$D_1=16^2-4\cdot 1\cdot(-20)=256+80=336=16\cdot 21,$$
$$b_{1,2}=\frac{-16\pm\sqrt{336}}{2}=\frac{-16\pm 4\sqrt{21}}{2}=-8\pm 2\sqrt{21}.$$
Ответ: $$b=2,\; b=-8\pm 2\sqrt{21}.$$
