Задание 16 Параграф 20 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) bx^2+(b+1)x+1=0; 2) (b-2) x^2-(b+2)x-3=0?

1) Рассмотрим уравнение $$bx^2+(b+1)x+1=0.$$

Если $$b=0,$$ получаем линейное уравнение $$x+1=0,$$ у которого единственный корень $$x=-1.$$

Если $$b\ne 0,$$ уравнение квадратное и имеет единственный корень при $$D=0.$$ Тогда

$$ D=(b+1)^2-4b=b^2+2b+1-4b=b^2-2b+1=(b-1)^2. $$

Отсюда

$$ (b-1)^2=0 \Rightarrow b=1. $$

2) Рассмотрим уравнение $$ (b-2)x^2-(b+2)x-3=0.$$

Если $$b=2,$$ получаем линейное уравнение $$-4x-3=0,$$ у которого единственный корень.

Если $$b\ne 2,$$ уравнение квадратное и имеет единственный корень при $$D=0.$$ Тогда

$$ D=(-(b+2))^2-4(b-2)\cdot(-3)=(b+2)^2+12(b-2). $$

$$ D=b^2+4b+4+12b-24=b^2+16b-20. $$

Решим уравнение

$$ b^2+16b-20=0. $$

$$ D_b=16^2-4\cdot 1\cdot(-20)=256+80=336=16\cdot 21. $$

$$ b_{1,2}=\frac{-16\pm\sqrt{336}}{2}=\frac{-16\pm 4\sqrt{21}}{2}=-8\pm 2\sqrt{21}. $$

Значение $$b=2$$ также подходит.

Ответ

1) $$b=0,\ 1.$$
2) $$b=2,\ -8\pm 2\sqrt{21}.$$