Задание 15 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 15. Постройте график функции y=(2|x|-2)/(|x|-x^2 ). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Подробный ответ

Упростим выражение:

$$ y=\frac{2|x|-2}{|x|-x^2} =\frac{2(|x|-1)}{|x|(1-|x|)} =-\frac{2}{|x|} $$
при $$x\ne 0,\; x\ne \pm 1.$$

Значит, график состоит из двух ветвей гиперболы:

если $$x>0,$$ то $$y=-\frac{2}{x};$$

если $$x<0,$$ то $$y=\frac{2}{x}. $$

Точки с абсциссами $$x=-1,0,1$$ не входят в график.

Теперь найдём, при каких $$k$$ прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с графиком.

Для пересечения с ветвью $$y=-\frac{2}{x}$$ получаем:

$$ kx=-\frac{2}{x} \quad\Rightarrow\quad kx^2=-2. $$

Такое уравнение имеет действительные решения только при $$k<0.$$ Чтобы общих точек не было, нужно, чтобы решений не существовало, то есть $$k\ge 0.$$

Но при $$k=0$$ прямая $$y=0$$ также не пересекает график, так как у функции значения $$y$$ всегда отрицательны.