Задание 15 Параграф 10 ГДЗ Рабочая тетрадь 1 Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=\frac{2|x|-2}{|x|-x^2}$$. Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ не имеет с графиком общих точек.

Преобразуем выражение:

$$y=\frac{2|x|-2}{|x|-x^2} =\frac{2(|x|-1)}{|x|(1-|x|)} =-\frac{2}{|x|}$$

при $$x\ne 0$$ и $$x\ne \pm 1$$.

Тогда

если $$x>0$$, то $$|x|=x$$ и $$y=-\frac{2}{x}$$;

если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и $$y=\frac{2}{x}$$.

Значит, график функции состоит из частей гипербол $$y=-\frac{2}{x}$$ и $$y=\frac{2}{x}$$, но точки с абсциссами $$-1$$, $$0$$ и $$1$$ не входят в график.

Найдём, при каких $$k$$ прямая $$y=kx$$ не имеет общих точек с этим графиком.

Для пересечения с ветвью $$y=-\frac{2}{x}$$ получаем:

$$kx=-\frac{2}{x} \Rightarrow kx^2=-2.$$

Если $$k>0$$, решений нет. Если $$k<0$$, решения есть.

Для пересечения с ветвью $$y=\frac{2}{x}$$ получаем:

$$kx=\frac{2}{x} \Rightarrow kx^2=2.$$

Если $$k<0$$, решений нет. Если $$k>0$$, решения есть.

Следовательно, при $$k\ne 0$$ прямая $$y=kx$$ обязательно пересекает одну из ветвей графика. При $$k=0$$ получаем прямую $$y=0$$, которая с графиком не пересекается, так как $$y=-\frac{2}{|x|}\ne 0$$.

Ответ: $$k=0$$.